Expression d'une somme Un en fonction de n

Bonjour,

Dans une activité, on nous donne la somme $Un=1n∑k=1nk(k−1)U_n = \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1} ^n k(k-1)$ pour $n≥1n\geq1$ .

Puis on nous demande de montrer que $Un+1=nn+1Un+nU_{n+1} = \frac{n}{n+1} U_n + n$ :
$Un+1=1n+1∑k=1n+1k(k−1)U_{n+1} = \frac{1}{n+1} \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k(k-1)$
$Un+1=1n+1∑k=1nk(k−1)+(n+1)⋅nn+1U_{n+1} = \frac{1}{n+1} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k-1) + \frac{(n+1) \cdot n}{n+1}$
$Un+1=nn+1⋅1n∑k=1nk(k−1)+nU_{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k-1) + n$
$Un+1=nn+1⋅Un+nU_{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot U_n + n$
Ensuite, il nous est demandé d'exprimer $U_n$ en fonction de n, je suis parvenu à trouver $Un=n2−13U_n = \frac{n^2-1}{3}$ , mais sans relation avec ce qu'il nous a été demandé précédemment, ce qui n'est sans doute pas dans la logique de l'activité :
$Un=1n∑k=1nk2−k=1n∑k=1nk2−1n∑k=1nkU_n = \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2-k = \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 - \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n k$
J'avais déjà vu (dans d'autres activités indépendantes) que $∑k=1nk2=n⋅(n+1)⋅(2n+1)6\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n \cdot (n+1) \cdot(2n+1)}{6}$
$Un=1n⋅n⋅(n+1)⋅(2n+1)6−1n⋅n⋅(n+1)2U_n =\frac{1}{n} \cdot \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2n+1)}{6} - \frac{1}{n} \cdot \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$
$Un=(n+1)⋅(2n+1)6−3⋅(n+1)6U_n =\frac{(n + 1) \cdot (2n+1)}{6} - \frac{3 \cdot (n + 1)}{6}$
$Un=(n+1)⋅(2n−2)6U_n =\frac{(n + 1) \cdot (2n-2)}{6}$
$Un=(n+1)⋅(n−1)3U_n =\frac{(n + 1) \cdot (n-1)}{3}$
$Un=n2−13U_n =\frac{n^2-1}{3}$

Sauriez-vous s'il est possible d'arriver au résultat du 2. en utilisant le 1. ?
Merci pour votre aide.

@JackAtik Bonjour,

Tu utilises les suites télescopiques en posant $A_n=nU_n$
soit $A_{n+1}=A_n+n(n+1)$
$A_{n+1}-A_n= n(n+1)$
qui donne $An+1=1×2+2×3+3×4+....=13n(n+1)(n+2)A_{n+1}=1\times2+2\times3+3\times4+ .... = \dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)$
d'ou $An=13(n−1)n(n+1)A_n=\dfrac{1}{3}(n-1)n(n+1)$
Puis $U_n= ....$

Merci beaucoup @Noemi pour votre réponse.

Je parviens à vous suivre jusqu'à $An+1=1×2+2×3+...+n×(n+1)A_{n+1} = 1 \times 2 + 2 \times 3 + ... + n \times (n + 1)$ :
$A_n = n U_n$
$An=∑k=1nk(k−1)A_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n k (k - 1)$
$An+1=∑k=1n+1k(k−1)A_{n + 1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k (k - 1)$
$An+1=∑k=1nk(k−1)+n×(n+1)A_{n + 1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k (k - 1) + n \times (n + 1)$
$An+1=An+n×(n+1)A_{n + 1} = A_n + n \times (n + 1)$
$An+1−An=n×(n+1)A_{n + 1} - A_n = n \times (n + 1)$
$A2−A1+A3−A2+...+An+1−An=1×2+2×3+...+n×(n+1)A_2 - A_1 + A_3 - A_2 + ... + A_{n+1} - A_n = 1 \times 2 + 2 \times 3 + ... + n \times (n + 1)$
$An+1−A1=1×2+2×3+...+n×(n+1)A_{n+1} - A_1 = 1 \times 2 + 2 \times 3 + ... + n \times (n + 1)$
Or $A_1$ vaut 0 donc $An+1=1×2+2×3+...+n×(n+1)A_{n+1} = 1 \times 2 + 2 \times 3 + ... + n \times (n + 1)$

Mais je n'arrive pas à voir par quelle manière vous arrivez à :
$\times 2 + 2 \times 3 + ... + n \times (n + 1) = \frac{1}{3} n (n + 1) (n + 2)$

Bonjour,

Souvent en Secondaire, on considère que certaines relations sont sensées être connues ... ce n'est évidemment pas toujours le cas.

1×2+2×3+...+n×(n+1) = $Σk=1nk.(k+1)=Σk=1nk2+Σk=1nk\Sigma_{k=1}^n k.(k+1) = \Sigma_{k=1}^n k^2 + \Sigma_{k=1}^n k$

$Σk=1nk2+n(n+1)2\Sigma_{k=1}^n k^2 + \frac{n(n+1)}{2}$

Calcul de : $Σk=1nk2\Sigma_{k=1}^n k^2$

(k+1)³ - k³ = 3k² + 3k + 1

$Σk=1n((k+1)3−k3)=3.Σk=1nk2+3.Σk=1nk+Σk=1n1\Sigma_{k=1}^n ((k+1)^3 - k^3) = 3.\Sigma_{k=1}^n k^2 + 3.\Sigma_{k=1}^n k + \Sigma_{k=1}^n 1$

$(23−13)+(33−23)+(43−33)+...+((n+1)3−n3)=3.Σk=1nk2+3.n(n+1)2+n(2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + (4^3 - 3^3) + . . . + ((n+1)^3 - n^3) = 3.\Sigma_{k=1}^n k^2 + 3.\frac{n(n+1)}{2} + n$

Le membre de droite a presque tous les termes qui se simplifient et il reste :

$(n+1)3−13=3.Σk=1nk2+3.n(n+1)2+n(n+1)^3 - 1^3 = 3.\Sigma_{k=1}^n k^2 + 3.\frac{n(n+1)}{2} + n$

$3.Σk=1nk2=n3+3n2+3n+1−1−3.n(n+1)2−n3.\Sigma_{k=1}^n k^2 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 1 - 3.\frac{n(n+1)}{2} - n$

$3.Σk=1nk2=n3+3n2+3n+1−1−32.n2−32.n−n3.\Sigma_{k=1}^n k^2 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 1 - \frac{3}{2}.n^2 - \frac{3}{2}.n - n$

$3.Σk=1nk2=n3+32.n2+n23.\Sigma_{k=1}^n k^2 = n^3 + \frac{3}{2}.n^2 + \frac{n}{2}$

$Σk=1nk2=2n3+3.n2+n6\Sigma_{k=1}^n k^2 = \frac{2n^3 + 3.n^2 + n}{6}$

$Σk=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\Sigma_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Et donc :
1×2+2×3+...+n×(n+1) = $n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

1×2+2×3+...+n×(n+1) = $n(n+1)(2n+1)6+3n(n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n(n+1)}{6}$

1×2+2×3+...+n×(n+1) = $n(n+1)6∗(2n+1+3)\frac{n(n+1)}{6} * (2n+1+3)$

1×2+2×3+...+n×(n+1) = $n(n+1)3∗(n+2)\frac{n(n+1)}{3} * (n+2)$

1×2+2×3+...+n×(n+1) = $n(n+1)(n+2)3\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Merci @Black-Jack pour vos précisions.

Je connaissais $∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (parce que dans une activité nous avions dû le montrer par récurrence) mais pas cette manière de le calculer avec $k+1)^3-k^3$ .

Cette relation me permet effectivement de résoudre l'exercice mais j'avais pensé, sans doute à tort, qu'il était attendu une autre manière de faire.

@JackAtik a dit dans Expression d'une somme Un en fonction de n :

Merci @Black-Jack pour vos précisions.

Je connaissais $∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (parce que dans une activité nous avions dû le montrer par récurrence) mais pas cette manière de le calculer avec $k+1)^3-k^3$ .

Cette relation me permet effectivement de résoudre l'exercice mais j'avais pensé, sans doute à tort, qu'il était attendu une autre manière de faire.

Bonjour,
Pas de soucis à démontrer par récurrence.
Mais c'est un peu hypocrite, car cela suppose qu'on connait la formule au préalable.
La méthode que j'ai employée ne suppose pas la connaissance préalable du résultat.

Bonjour @Black-Jack

Oui je suis d'accord avec vous pour la récurrence.

Merci de m'avoir montré comment faire avec $k+1)^3-k^3$ .

Et merci également à @Noemi pour son indication sur les suites téléscopiques.