Signe d'une fonction trigonométrique

[galois]

Fonction trigonométrique
Salut et merci d'avance. On me demande dans un exercice de déterminer le signe de la fonction
f(x)= cos(sinx) - sin(cosx) sur IR.
Comme f est continue sur IR , j'ai essayer de résoudre l'équation f(x) = 0 j'ai pas pu. Aider moi svp.

[Black-Jack]

Bonjour,

Une méthode parmi d'autres.

f(x) = cos(sin(x)) - sin(cos(x))

Supposons que f(x) = 0, on aurait alors cos(sin(x)) = sin(cos(x))

cos(sin(x)) = cos(Pi/2 - cos(x))

Donc sin(x) = +/- (Pi/2 - cos(x)) mod 2Pi

2 possibilités :

a) sin(x) + cos(x) = Pi/2 + 2k.Pi (avec k dans Z)
b) sin(x) - cos(x) = -Pi/2 + 2k.Pi (avec k dans Z)

pour le a)
Il suffit alors d'étudier les variations de g(x) = sin(x) + cos(x)
g'(x) = ... et montrer que -sqrt(2) <= sin(x) + cos(x) <= sqrt(2) ... et conclure que sin(x) + cos(x) = Pi/2 + 2k.Pi est impossible.

pour le b)
Pareil que ci-dessus avec h(x) = sin(x) - cos(x)
... et conclure que sin(x) - cos(x) = -Pi/2 + 2k.Pi est impossible

Donc f(x) = cos(sin(x)) - sin(cos(x)) est continue et ne s'annule jamais sur R --> f(x) est de signe constant sur R

f(0) = ... > 0 et donc f(x) est strictement positif sur R.

[galois]

@Black-Jack merci beaucoup
Je ferais les calculs nécessaires

[Noemi]

@galois Bonjour,

Une autre méthode :
Poser $a=cos(x)$ puis étudier les cas :
$a>0$ et
$a\le 0$