calcul de dérivée avec ln x

Bonjour, voilà mon exercice :
au début on nous donne un cout de fabrication Ct(x) = x^2 /4 + (9/2)ln(x+1)
et quelques questions plus tard on nous dit :
Cm(x) = Ct(x)/x = x/4 + (9/2)[ln(x+1)/x]
et il faut que je calcule C'm(x) et je me suis completement empétré, j'ai fait :

x/4 + (9/2)[((x/x+1) - ln(x+1))/x²]
en posant u = ln(x+1) u'=1/x+1 v=x v'=1 et u'v-v'u/v²
maintenant je ne sais pas si c'est la bonne méthode mais toujours est-il que si c'est ça je n'arrive plus à avancer, je suis complètement perdu dans ces fractions et tout... si quelqu'un pouvait m'aider en m'orientant ça serait très gentil... merci d'avance

Bonjour

Je pense que tu fais une erreur de calcul pour Ct(x)/x

$C_m$ (x) = $C_t$ (x) / x = (x/2) + (9/2) [ ln(x+1) / x]

donc C' $_{m }$ (x) = 1/2 + 9/2 [ ln(x+1) / x ]'

reste donc à dériver [ ln(x+1) / x] avec la formule de la dérivée de ln que tu connais

en posant u(x) = ln(x+1) et v(x) = x

A toi de faire les calculs

mais est-ce possible de transformer x/4 en 1/2 ? je n'ai rien trouvé dans mon cours qui parle de dérivées avec x/k et je suis vraiment pas à l'aise dans ce genre de choses
enfin bref en faisant ce que vous m'avez dit (en dérivant [ln(x+1)/x]) j'ai trouvé :
((x/x+1) - ln(x+1))/x²
mais est-ce que j'ai utilisé la bonne formule, à savoir :
u'v-v'u/v² ?
à la fin la solution est censée vérifier que l'on peut écrire C'm(x) = f(x)/2x² (on nous a donné f(x) plus haut dans l'énoncé f = (x²/2) + (9x/x+1) - 9ln(x+1)
donc je suppose que j'en suis encore loin :frowning2:

Salut vlavosk,
en réalité x/4 n'est pas de la forme x/k mais de la forme kx où k=1/4, donc sa dérivée est 1/4.
Non tu n'es pas si loin que ça du résultat, tu as obtenu cette dérivée :
x/4 + (9/2)[((x/x+1) - ln(x+1))/x²], il ne te reste plus qu'à tout factoriser (après avoir corrigé le x/4) par 1/2x², la factorisation est déjà quasiment faite pour le deuxième terme (tu as 2x² au dénominateur, il ne te reste plus qu'à développer le 9), pour le premier terme il faut que tu fasses apparaître x² au dénominateur, à toi de mofifier le numérateur en conséquence.

oula je suis pas sur d'avoir tout compris, mais pour la 1ère question je dois mettre :
C'm(x) = 1/4 + (9/2)[((x/x+1) - ln(x+1))/x²]
c'est ça ?
et pour vérifier que l'on peut écrire C'm(x) = f(x)/2x² (la 2ème question) j'ai pas tout saisi désolé, si je dois développer le 9 je pense que ça fait 9x² (meme si je n'en suis pas sur) après en regardant le résultat que je dois trouver je vois à peu près les modifications qu'il faut faire mais je comprends pas tout... qu'est-ce que je fais avec le 1/4? si je modifie le 9 comment est-ce que je vais pouvoir trouver 9x - 9ln(x+1) puisque maintenant c'est 9x² (en meme temps je me suis peut etre trompé depuis le début...) et comment je peux faire disparaitre le dénominateur x² si j'ai 2x² en face ? comment ça se fait que le x+1 ne change pas ? c'est très compliqué à comprendre tout ça pour moi :rolling_eyes:

Ok donc on va faire ça plus doucement, tu sais donc que :
Cm'(x)= 1/4 + (9/2)[((x/x+1) - ln(x+1))/x²]

((x/x+1) - ln(x+1))/x², là tu as un quotient avec au numérateur (x/x+1) - ln(x+1) et au dénominateur x², c'est donc de la forme a/b, comment peux-tu écrire (9/2)*(a/b)? Si tu vois, tu n'as plus qu'à remplacer a par le numérateur et b par le dénominateur.
Pour le 1/4, il faut que tu réussisses à avoir 2x² au dénominateur, pense que dans un quotient tu peux multiplier numérateur et dénominateur par le même nombre tant que celui-ci n'est pas nul.
J'espère que c'est plus clair et que ça te permettra de trouver.

d'accord merci beaucoup