1 question barycentre + 1 question produit scalaire



  • A et B sont deux points du plan tel que AB=2.
    On cherchele lieu des points M tel que MA/MB =3 or on sait que cela revient à effectuer MA²-9MB²=0

    a)G barycentre de (A,1),(B,3) et K est le barycentre de (A,1),(-3)

    Demontrer que G et K points sont deux points appartenants au lieu cherché
    b) Exprimer MA²-9MB² à l'aide des vecteurs MG et MK

    C)En deduire le lieu des points M tels que MA/MB=3

    Merci de bien vouloir me repondre
    Cordialement



  • C'est un grand classique du calcul barycentrique, taches de bien le comprendre pour ne plus buter dessus....
    a. Cette question est tres simple si tu te rappelles bien la definition du barycentre de deux points. Ecris les relations entre les points A, B et G d'une part, A, B et K d'autre part. Quand tu les auras (bien) ecrites, tu n'auras qu'a transposer un des termes de l'autre cote de l'egalite, puis a elever au carre les deux membres pour trouver que GA^2 = 9 GB^2 et KA^2 = 9 KB^2, et c'est bien ce qu'on cherche a prouver....
    b. MA^2 - 9MB^2 est une identite remarquable (ecris la plutot avec des vecteurs qu'avec des distances ...). Puis tu chercheras le lien entre les deux facteurs de ta factorisation avec les points G et K en utilisant les proprietes de reduction des fonctions vectorielles en utilisant les barycentres.
    c. D'apres les questions precedentes, le lieu cherche est celui des points M tels que le produit scaleire des vecteurs MK et MG soit nul. Et la tu introduis le milieu F de [KG]. Tu ecris le vecteur MK comme MF + FK et MG comme MF + FG ou aussi MF - FK puisque F est le milieu de [GK] (tout ce que je donne ici sont des vecteurs!!!). Notre fameux lieu est celui des points M telsque (MF + FK)(MF - FK) = 0, c'est a dire MF^2 - FK^2 = 0, ou aussi MF^2 = FK^2, soit finalement MF = FK (ici ce sont des distances et non des vecteurs). C'est donc le cercle de centre F et de rayon FK (ou simplement le cercle de diametre KG).
    Conseil : Revois bien tes notes de cours ...


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