Petit pb sur un exercice sur les équations différentielles



  • Bonjour, pouvez vous m'aidez pour cet exo s'il vous plait

    Sujet Soit l'équation différentielle ( E ) : y'+y = 2.(x+1) . exp (-x)

    Question

    1. Démontrer que la fonction f0 , définie sur R par f o (x) = ( x²+2x) . exp ( -x ) est une solution particuliére de l'équation ( E ) .
    2. Résoudre l'équation différentielle ( E') : y'+y=0
    3. Soit u une solution de ( E' ) , démontrer que f0 + u est une solution de ( E )
    4. On admet que la réciproque est vraie , c'est-à-dire que toute solution f de ( E ) est de la forme f = f0 + u , avec u une solution de ( E') .
      En déduire pour tout réel x l'expression de f(x) lorsque f est solution de ( E )
    5. Sachant que la fonction g est solution de ( E ) (g(0)=1 et g(-1)=0, déterminer l'écriture de g(x)
    6. Déterminer la solution de k de ( E ) dont la représentation graphique admet au point d'abscisse une tangente de coefficient directeur 0 .

    J'ai d'abord démontré la question 1.
    Ensuite j'ai résolu l'équation (E'):y'+y=0. J'ai trouvé f(x)=C*e^(-x) ac C réel.
    Puis j'ai montré que si u est une solution de (E') f0+u est solution de (E).
    Mais c'est pour la suite que je bloque un peu...

    Je vous remercie d'avance pour votre aide.


  • Modérateurs

    Salut.

    (E) : y'+y=2(x+1).exp(-x)

    (E') : y'+y=0

    f0(x)=(x²+2x).exp(-x) solution particulière de (E)

    u(x)=C.exp(-x) solution générale de (E')

    1. On sait que f(x)=f0(x)+u(x), donc il n'y a pas de problème. 😉

    2. Tu prends g(x)=f(x) ci-dessus, et tu résous le système d'équation (grâce à g(0)=1, tu en déduis C, puis tu vérifies ton résultat grâce à g(-1)=0 par exemple).

    3. Tu prends k(x)=f(x) de 4), et résous le système d'équation (indice: que signifie le coefficient directeur ?).
      Tu n'as pas écris entièrement la question: "au point d'abscisse" ?

    @+


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