Donner l'expression d'une suite par récurrence et déterminer sa nature

BONJOUR,

Un jardinier amateur tond sa pelouse tous les samedis et recueille à chaque fois 120litres.
Chaque semaine les matiéres stockéés perdent par décomposition, ou prélévement, les trois quarts de leur volume.
On apelle Vn le volume en litres stoché le n-iéme samedi de tonte. Vérifier que l'on a: v1=120, V2=150 et V3=157.5

Exprimer Vn+1 en fonction de Vn. cette suite est arithmétique ou géométrique?
On définit, pour tout entiern >= 1, le nombre Tn par tn=160-Vn
Démontrer que le suite(tn) est géométrique, et préciser son premier terme et sa raison.
3.Exprimer tn enfonction de n et en déduire le terme général de,la suite (Vn)
4.Les conditions restant les mêmes, le bac de stockage sera-t-il un jour rempli??
.....................................................................................................................
je n'ai seulement réussi a démontrer que V2=150 car v2=3/4*120 , v2=120-90+120, v2=30+120=150L

et j'ai fait de même pour V3 ( je comprend que mon calcule est ambigue)

Aidez moi s'il vous plait!!! je n'arrive même pas commencer l'exercice!!!!
:frowning2:

Bonjour Pathi,

En effet tout ce que tu as écrit manque de rigueur .... il y a des v et des V .....

Je pense que tous font référence à la même suite = volume stocké chaque samedi

$V_1$ = 120 qui au bout d'une semaine va perdre 3/4 donc il en restera 1/4 soit 30

$V_2$ = ce qui reste de la semaine précédente + 120 de la tonte du jour
$V_2$ = 30 + 120 = 150 dont il ne restera au bout d'1 semaine que le 1/4 soit .....

$V_3$ = ce qui reste de la semaine précédente + 120 de la tonte du jour

A toi de continuer

$V_{n+1}$ = ce qui reste de la semaine précédente + 120 de la tonte du jour

Avec les 3 premiers termes tu dois pouvoir conclure si $V_n$ est arithmétique ou géométrique ou ni l'un ni l'autre.

Pour démontrer que $T_n$ est géométrique, que faut-il calculer ? (C'est dans ton cours)

La forme de $T_n$ en fonction de n : c'est dans ton cours

En déduire $V_n$ : c'est un simple calcul à partir de la réponse précédente

P.S. Pour savoir si le bac sera un jour rempli, il nous faudrait peut-être un info supplémentaire, non ?

bah pour moi ce n'est ni géométrique ni arithmétique.

V1=120
V2=150
V3=157.5 on n'obtient pas un réel constant donc ce n'est pas arithmétique ( a addition le terme précédant ...) et c ni géométrique!!

C'est bon jespére???

$V_{n+1}$ = ce qui reste de la semaine précédente + 120 de la tonte du jour

ce qui reste de la semaine précédente = 1/4 du ?????

donc ce qui reste de la semaine précédente = 1/4 * ????

ce qui reste de la seamine précédente = 1/4*Vn-1 +120 ?????

(oalala Je comprend pourquoi ma prof de maths veut que je double!!!)

oui si $V_n$ est le volume stocké le n-ième samedi

ce qui reste de la semaine précedante c'est 1/4 * $V_{n-1}$

maintenant on te demande de calculer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ ... allez tu vas y arriver

pardon j'avais fait une erreur entre précédente et suivante dans ma dernière réponse

Merci de m'encourager.

ce n'est pas ce qui reste la semaine précédente???? 1/4*Vn-1

Vn+1=1/4Vn-1+1
Vn+1=1/4Vn?????????????????? Je tourne en rond!!

Donc si on se place à la semaine n+1

Quelle est le numéro de la semaine précedente ?

Qu'est ce qui reste de la semaine précédente ?

donc $V_{n+1}$ = ???

Vn+1 = 1/4Vn +120 ??

Eh bien tu as trouvé .....

Tu continues en suivant mes conseils de 17h09 je disparais un petit moment (le temps d'aller arroser le jardin)

Je n'arrive pas du tout a démontrer que c'est arithmétique ou géométrique.

pour moi c l'un ni l'autre.

POur la question 2)

j'ai: tn=160-Vn

donc tn+1=160-Vn+1/160-Vn

=(160-1/4Vn+120)/(159-1/4Vn-1)

Je n'y arrive plus!!!!!!!!

Salut

En effet, (Vn) n'est ni géométrique ni arithmétique : l'examen des premiers termes montre qu'il n'y a pas d'opérateur additif ni multiplicatif permettant de passer de l'un à l'autre (ce qui est clair aussi d'après la relation de récurrence que tu as donnée à 18:08 le 27/5).

Pour montrer que la suite définie par Tn=160-Vn est géométrique, il suffit de montrer que $T_{n+1}$ est égal à $qfoi/T_n$ , pour un certain q indépendant de n.

On part de $T_{n+1}$ = 160 - $V_{n+1}$
où l'on remplace $V_{n+1}$ par son expression en fonction de $V_n$ et puis on essaie d'avancer les calculs !

je n'utilise pas la 1er méthode car je en voi pas apr quoi je peut multiplier.
tn+1=160-Vn+1
tn=160-Vn

2éme méthode:
tn+1=160-1/4Vn+120

dont finalement je n'y arrive toujours pas!! :frowning2:

Et une énorme faute de calcul !!!!

$V_{n+1}$ = 1/4 $V_n$ +120

$T_{n+1}$ = 160 - $V_{n+1}$ = 160 - (1/4 $V_n$ +120) = ???

:frowning2: oui c'est vrai mais je ne peut pas simplifier

Tn+1=160-(1/4Vn+120)!

AHH j'ai un toute petite idée

on a Tn+1=160-(1/4Vn+120)
et Tn=160-Vn

donc tn+1=1/4*tn+120 ???????????????? HEU NO IL YA DES CHANGEMENT A FAIRE!!

C'est en 4ème qu'on apprend à "enlever" les parenthèses dans une expression avec la règle si la parenthèse est précédée du signe - alors on change les signes à l'intérieur de la parenthèse donc tu dois pouvoir simplifier l écriture de $T_{n+1}$

Tu peux aussi utiliser les boutons indice et fin d'indice

ils sont situés sous le cadre où tu réponds et poses tes questions
tu obtiendras

T< sub>n+1< /sub> sans espace pour pouvoir écrire $T_{n+1}$ de façon plus rigoureuse

place ton indice entre chaque <> ici <>

Parce que ton "Tn+1=160-(1/4Vn+120)" y a plus précis comme écriture

$T_{n+1}$ = $40-1/4V_n$

bon et je m'arrete là pour cet exercice car j'ai l'impression que vous n'arrivez plus a me supporter ( je sais que j'ai énormément de difficulté en maths)

Merci de m'avoir aidé jusque là.

Non tu ne vas pas lâcher maintenant ! Tu es à 2 doigts de tout comprendre ....

$T_{n+1}$ = 40 - 1/4 $V_n$

$T_n$ = 160 - $V_n$

par quoi faut-il diviser $T_n$ pour trouver $T_{n+1}$ ?

donc $T_{n+1}$ / $T_n$ = ???

Tu vas donc trouver la raison de ta suite géométtrique et tout le reste de ton exo

heuuuuuuu enfet je suis revenu. il faut absolument que je le fasse en entier. (mon niveau me l'oublige)

bah heu..
ilfaut diviser Tn par 4.

ahhhh donc Tn+1=Tn /4 la suite est géométrique vu que la raison est égale a 4.
Tn=4*Tn+1 c pas normal

non la raison c'est r = $T_{n+1}$ / $T_n$ donc

r = ???

hru.... r= (40-1/4Vn)/ (160-Vn)

j'ai ne voit pas comment je pourrais le simplifier!

la raison c'est q = $T_{n+1}$ / $T_n$

Or tu sais que $T_{n+1}$ = $T_n$ / 4

donc $T_{n+1}$ / 1 = $T_n$ / 4

donc avec un bon produit en croix que tu fais depuis un certain temps tu dois pouvoir trouver

q = $T_{n+1}$ / $T_n$

c'est bizarre les maths!!!

Tn+1/1=Tn/4

4(Tn+1)+Tn*1

=4Tn+4+Tn

je remplace:

4*(40-1 /4Vn)+4+160-Vn

160-Vn+164-Vn

...je fai n'importe quoi là

Pourquoi tu remplaces par V etc .... relis ce que j'ai écrit à 15h47

$T_{n+1}$ et $T_n$ sont des nombres appelons les a (pour $T_{n+1}$ ) et b (pour $T_n$ )

tu sais que
a = b/4

alors

a/b = ????

a=b/4

donc a/b=a*4/b

Tn+1/Tn = Tn+1*4/Tn????????????????????

bon je te donne la réponse mais essaye de la retrouver

a=b/4 equiv/ a/1 = b/4 equiv/ a/b = 1/4

la raison est 1/4

$T_{n+1}$ = (1/4) * $T_n$

bon ca c'est sûr que je ne l'aurai pas trouvé.

Bon il me reste le 3)

MAIS JE n'arrive pas
Encor un petit coup de main s'il vous plait!!

Il faut absolument que tu cherches des exos niveau 4ème 3ème pour combler les lacunes que tu as en calcul algébrique. C'est assez impressionnant d'être arrivé en 1ère S sans savoir résoudre une équation de ce type !

bon pour la 3
tu dois trouver dans ton cours une formule qui te donne pour une suite géométrique l'expression de $U_n$ en fonction de son premier terme et de sa raison et de n

Au fait (et non fet ni faite ni fête) que trouves tu pour le premier terme de $T_n$

ahhhhhhh oui j'ai la formule ( dans mon livre)

S=1er terme * ( 1-qnbre de terme)/1-q

et la malheuresement il faut le 1er terme. rrrrrrrrrrrrrr je sais pas

(Ah oui on peut etre sûre que si je suis arrivé jusque là c'est pas en ayant la moyenne en maths!)

le premier terme de $T_n$ en bonne logique va être donné par le premier terme de ???? puisqu'on sait que $T_n$ est définie par la relation

$T_n$ = 160 - $V_n$

ah oui ! c'est donné dans le 1er terme de Vn

Bah c 120?????

( petite remarque: je en suis pas la seul etre en difficulté sur la question 2 ( avc l'équation) il a des éléves de ma classe qui n'y arrive aps non plus)

le premier terme de la suite $V_n$ est $V_1$ qui est égal à 120

donc le premier terme de la suite $T_n$ est ??? qui vaut ???

heu a mon avis c'est 160-120= 40 donc le 1er terme de Vn est 40????????

Quel est son petit nom à ce premier terme ?

$T_0$ ? $T_{12}$ ? ou autre chose

To pourquoi??

As-tu un $V_0$ ?

heu rallal je suis tombé dans le piége c'est T1

Et alors cette forme de $T_n$ en fonction de $T_1$ de n et de q ?

LA formule donnée à 17h18 est celle de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique pas la forme du nième terme d'une suite géométrique

Tn=40*(1-qn/t-qn) ===> c peut etre ca que l'on veut?????