optimisation


  • Modérateurs

    Bonjour tout le monde,
    Je suis à la recherche d'une méthode applicable en 1ère S permettant de prouver que le triangle équilatéral est le triangle de plus grande aire dans un cercle de rayon R.
    Vous avez ça dans vos méninges ?



  • vite-fait, je pense à un truc utilisant S = abc / (4R),
    en supposant a <= b <= c, on doit arriver à abc <= c3c^3.


  • Modérateurs

    Une piste intéressante ... J'étais parti sur une optimisation "classique" avec étude de fonction .... Je vais réfléchir à celle-ci.
    Je vous dirai quoi.
    Merci, bonne soirée.



  • Thierry
    Une piste intéressante ... J'étais parti sur une optimisation "classique" avec étude de fonction .... Je vais réfléchir à celle-ci.
    Je vous dirai quoi.
    Merci, bonne soirée.

    Salut Thierry,

    à tout hasard, le triangle équilatéral inscrit est un demi-hexagone régulier, lequel est formé par trois losanges ou alors, plus simplement, la maximisation de l'aire S=ah du triangle OAB (1/6 de l'hexagone régulier) avec OA = r; h = (r+a)(r-a); et a = kr; avec k variant de 0 à 1; on a bien le maximum de S pour k= 0.5, soit a = r/2 (attention à bien considérer la paire des triangles OAH et BAH (H, pied de la hauteur) en bougeant A vers B, sinon l’aire du seul triangle OAH avec h = r/ sqrtsqrt2 (demi-carré) pourraît nous paraître plus grande mais ne satisferait pas le début de l’énoncé.
    Bonne journée.


  • Modérateurs

    Merci l'ami Suisse !
    J'ai suivi ta piste de l'optimisation du triangle isocèle et j'arrive ... à un triangle rectangle. Ce qui ne démontre pas le résultat cherché, ou alors j'ai mal compris ce que tu me proposes.


  • Modérateurs

    La solution de Zauctore marche bien.

    Soit un triangle de dimensions a, b, c inscrit dans un cercle de rayon R avec a <= b <= c. Connaissant le résultat : S=abc/(4R) (qui n'est pas explicitement au programme de 1eS), on démontre que S <= c^3/(4R). L'égalité ne pouvant être atteinte que si a=b=c.
    J'avais pensé démontrer la dernière affirmation à l'aide d'un raisonnement par l'absurde mais cela complique inutilement les choses.

    Pour la démonstration de S=abc/(4R), elle est dans ton cours sur la [URL=http://www.mathforu.com/Article63.html]loi des sinus[/URL].
    Ai-je oublié quleque chose Zauctore ?



    • un cercle donné contient toujours un triangle équilatéral inscrit ; avec a=b=c dans ce cas ça règle le pb.

    • en fait, géométriquement, il est clair que les triangles isocèles donnent des max relatifs pour l'aire

    http://pix.nofrag.com/b0/1b/1d60c648b66730813c172d83880c.jpg

    la verte est moindre que la pourpre.

    l'aire sera maximale lorsque le triangle sera isocèle en tous ses côtés.


  • Modérateurs

    Zauctore

    • un cercle donné contient toujours un triangle équilatéral inscritC'était bien ça, la chose qui me manquait. Merci !

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