Prouver que le triangle équilatéral est le triangle de plus grande aire dans un cercle

Bonjour tout le monde,
Je suis à la recherche d'une méthode applicable en 1ère S permettant de prouver que le triangle équilatéral est le triangle de plus grande aire dans un cercle de rayon R.
Vous avez ça dans vos méninges ?

vite-fait, je pense à un truc utilisant S = abc / (4R),
en supposant a <= b <= c, on doit arriver à abc <= $c^3$ .

Une piste intéressante ... J'étais parti sur une optimisation "classique" avec étude de fonction .... Je vais réfléchir à celle-ci.
Je vous dirai quoi.
Merci, bonne soirée.

Thierry
Une piste intéressante ... J'étais parti sur une optimisation "classique" avec étude de fonction .... Je vais réfléchir à celle-ci.
Je vous dirai quoi.
Merci, bonne soirée.

Salut Thierry,

à tout hasard, le triangle équilatéral inscrit est un demi-hexagone régulier, lequel est formé par trois losanges ou alors, plus simplement, la maximisation de l'aire S=ah du triangle OAB (1/6 de l'hexagone régulier) avec OA = r; h = (r+a)(r-a); et a = kr; avec k variant de 0 à 1; on a bien le maximum de S pour k= 0.5, soit a = r/2 (attention à bien considérer la paire des triangles OAH et BAH (H, pied de la hauteur) en bougeant A vers B, sinon l’aire du seul triangle OAH avec h = r/ $s q r t$ 2 (demi-carré) pourraît nous paraître plus grande mais ne satisferait pas le début de l’énoncé.
Bonne journée.

Merci l'ami Suisse !
J'ai suivi ta piste de l'optimisation du triangle isocèle et j'arrive ... à un triangle rectangle. Ce qui ne démontre pas le résultat cherché, ou alors j'ai mal compris ce que tu me proposes.

La solution de Zauctore marche bien.

Soit un triangle de dimensions a, b, c inscrit dans un cercle de rayon R avec a <= b <= c. Connaissant le résultat : S=abc/(4R) (qui n'est pas explicitement au programme de 1eS), on démontre que S <= c^3/(4R). L'égalité ne pouvant être atteinte que si a=b=c.
J'avais pensé démontrer la dernière affirmation à l'aide d'un raisonnement par l'absurde mais cela complique inutilement les choses.

Pour la démonstration de S=abc/(4R), elle est dans ton cours sur la [URL=http://www.mathforu.com/Article63.html]loi des sinus[/URL].
Ai-je oublié quleque chose Zauctore ?

un cercle donné contient toujours un triangle équilatéral inscrit ; avec a=b=c dans ce cas ça règle le pb.
en fait, géométriquement, il est clair que les triangles isocèles donnent des max relatifs pour l'aire

la verte est moindre que la pourpre.

l'aire sera maximale lorsque le triangle sera isocèle en tous ses côtés.

Zauctore

un cercle donné contient toujours un triangle équilatéral inscritC'était bien ça, la chose qui me manquait. Merci !