Démontrer l'écriture d'une somme

salut tout le monde voila j'ai un dm assé difficil sur les suites j'aimerais bien que vous m'aidiez:

f est la fonction polynome f(x)= (x+1)^3 - x^3
On note S = 1+2+...+n et P = 1²+2²+...+n²

1.verifiez que f(x) = 3x² + 3x + 1 (j'y suis arrivé)
2.a) En remplacant successivement x par 1 ; 2 ; ... ; n
démontrer que :
f(1)+f(2)+...+f(n) = (n+1)^3 - 1 = 3P + 3S + n
b) Déduisez en que P+S = (n(n+1)(n+2))/3
3. calculez S en fonction de n puis demontrer:
P = (n(n+1)(2n+1))/6

voila si vous pouvez m'aider a partir du 2. merci beaucoup ( c'est pour lundi)

Pour la kestion 2.a, il faut montrer que f(1)+f(2)+...+f(n) = (n+1)^3 - 1 et que aussi f(1) + f(2) + ...+ f(n) = 3P + 3S + n.
Pour avoir la premiere egalite, on utilise la premiere ecriture de f : f(x) = (x+1)^3 - x^3 .
On a :
f(1) = 2^3 - 1
f(2) = 3^3 - 2^3
f(3) = 3^4 - 3^3
.........................
.........................
f(n-1) = n^3 - (n-1)^3
f(n) = (n+1)^3 - n^3

Puis additionnne toutes ces egalites, il y a plein de simplifications .... et tu auras le resultat.
Pour la 2eme egalite on utilise la 2eme ecriture de f : f(x) = 3x^2 + 3x +1 . On a :
f(1) = 3 (1^2) + 3(1) + 1
f(2) = 3(2^2) + 3(2) +1
f(3) = 3(3^2) + 3(3) + 1
...................................
....................................
f(n) = 3(n^3) + 3(n) +1
Puis meme choz tu additionnes tt le monde, et on obtient a gauche f(1)+f(2)+...+f(n) et a droite 3P + 3S + n (il faut factoriser 3 et regrouper les carres ensemble...)

Pour 2.b. Il suffit de remarquer que 3P + 3S + n = 3(P+S) + n et tu utilises la question precedente dans la quelle tu developpes (n+1)^3 ...

C'est un grand classique : c'est une suite arithmetik de raison 1. Si tu connais pas la formule, je te donne ici une methode pour calculer S : tu ecris ceci :
S = 1 + 2 + 3 + ..........+ (n-1) + n
S = n + (n-1) + ................+ 2 +1
=============================== En additionnant membre a membre, on obtient :
2S = (n+1) + (n+1) + .........+(n+1) + (n+1) = n(n+1) et on deduit S.
P se calcule alors tres facilement...
Bonne chance ...

pour l'exercice , il suffisait juste d'avoir remarqué que
SOM(f(k))=3.SOM(k²)+3.SOM(k)+SOM(1) pour k compris entre 1 et n

soit SOM(f(k))=3.P+3S+n=(n+1)^3-1^3=(n+1)^3-1, alors de là, il est pas difficile de fournir SOM(k²) connaisant SOM(k)=n(n+1)/2 pour k compris entre 1 et n.

flight, t explikations sont certes correctes, mais c exacteman c ke jvoulai fair comprendr. En revanche, la notation SOM pour k de 1 a n ne me paraissait pas appropriee (jpense pas kil parle de ca en 1ere...) pour un eleve de 1ere, c pour ca que g tt decompoze pour obtenir la mem somme mais de maniere plus "elementaire", vu ?

merci beaucoup les gars mais j'arrive pas a faire la somme des termes! car j'ai deux formules mais elles s'appliquent uniquement pour les suite arithmétiques et geometriques!comment faut -il faire par exemple pour montrer la premiere égalité? est ce qu'il faut juste remplacer x par 1 puis 2 puis ajouter le tout ou il faut prouver en utilisant ces deux formules?
f(n-1) = n^3 - (n-1)^3
f(n) = (n+1)^3 - n^3

merci d'avance bye

Pourtant Jahoira t'a bien expliqué , elle a fait la somme de toute les lignes
bon... je vais te donner un autre exemple histoire de te faire comprendre.

soit la relation Uindice(k+2)=Uindice(k+1) + 6

on veut calculer la somme dans chaque membre , c'est à dire par exemple pour k compris entre 1 et 10.

on a U3=U2 + 6 (k=1)
ensuite U4=U3+6 (k=2)
U5=U4+6 (k=3)
et ainsi de suite jusqu'a

U11=U10+6 (k=10)

en addtionnant mbr à mbr on ecrit

U3+U4+U5+....U11=U2+U3+U4+.......U10+autant de ligne fois 6

tu vois bien qu'il te reste que U11=U2+60

tu va enerver jahoira attention...!!!

Ouais, je vais finaleman m'enerver avec "jahoira" com pseudo --- lol.
gsper k c maintan clair pour andalous avec les explikations de flight.
PS : jsu un garcon (pour flight ...)

oui mais la tu parle d'une suite arithmétique de rasion 6! moi f(1)+f(2)... ce n'est pas une suite arithmétique donc coment faire

C tres simple andalous :
Quand tu auras ECRIT (je di bien ECRIT), les egalites (les unes en dessous des autres), tu les additionnes toutes. A gauche de l'egalite tu ora f(1)+f(2)+...+f(n) et a droite, kan tu additionne tu remarkera ke tous les termes se simplifient sauf le premier et le dernier.
Exemple :
f(1) = 2^3 -1
f(2) = 3^3 - 2^3
f(3) = 4^3 - 3^3
f(4) = 5^3 - 4^3

Maintenan si on les additionne toutes, a gauche on obtient f(1)+f(2)+f(3)+f(4) et a droite on obtient : 2^3 - 1 + 3^3 - 2^3 + 4^3 - 3^3 + 5^3 - 4^3, ce qui donne apres simplification 5^3 - 1. Donc tu fais la mem choz mai o lieu de t'arreter a 5 tu t'arrete a n, compris ?
Bonne chance.

voila , je sais pk j' me plante sur ton pseudo , c'est parce que j'ai un pote qui s'appelle jahoir , donc je suppose que jaoira est le feminin... je suppose?

merco jaoira mais j'avais compris! le probleme c'est que j'arrive justement pas avec en m'arretant a n! car
f(1)+f(2)...+f(n)= 2^3-1 +3^3 - 2^3 + (n+1)^3 - n^3
=-1 +3^3 +(n+1)^3 -n^3

voila et la je sais pas comment on fait en fait j'arrive pas a simplifier avec n nombre! j'ai vraiment essayer plusieurs methodes mais en vain.. juste une petite aide svp merci

fait juste preuve d'un peu de bon sens et les choses vont se recoller d'elles meme!

Un pti cou dpouce :
au lieu d'ecrire directman f(n), ecris d'abord f(n-2), f(n-1) puis enfin f(n) et ecri ossi f(3), f(4). Tu verras que meme pour ces lignes il y a aussi des simplifications (assez belles ...).
Bonne chance.

Salut bon j’ai essayé de faire comme ca mais je sais pas si c’est vraiment bon :

Pour montrer que f(1)+f(2)+..+f(n)=(n+1)^3 – 1

f(1) = 2^3 -1
f(2) = 3^3 - 2^3
f(3) = 4^3 - 3^3
f(4) = 5^3 - 4^3
f(n-2)= (n-1)^3 - (n-2)^3
f(n-1)= n^3 – (n-1)^3
f(n)= (n+1)^3 – n^3

la somme de tous ces termes donne : -1 + 5^3 - (n-2)^3 + (n+1)^3
or ici n=7 donc 5^3 - (n-2)^3= 5^3 - 5^3 = 0
d’ou f(1)+f(2)+…+f(n) = -1 + (n+1)^3

voilà est ca qu’il faut faire ?

alors est ce la bone solution svp......??

Rappelle toi qu'entre f(4) et f(n-2), il y a d'autres lignes mais on ne peut pas tous les ecrire ...
En particulier, ces lignes vont t'apporter d'autres simplifications .... Fais un pti effor pour les voir ces simplifications.
Si tu regardes bien dans ce que t'as ecrit le 3^3 qui te reste sera annulee par l'autre 3^3 qui vien de la ligne d'apres, apres tu auras 4^3 qui sera annulee lui aussi etc ...En fait chacun des termes sera annulee par un terme de meme valeur (mais de signe opposee) qui vient de la ligne d'apres. Consequence : il n'ya que (n+1)^3 (de la derniere ligne - celle de f(n)) et (-1 de la premiere ligne - celle de f(1)) qui restent ...
bonne chance.