Devoir Maison Limites

Bonjour tout le monde,
J'ai un devoir maison a faire et j'ai un problème vers la fin.
Comme c'est qu'un exercice qui se suit je le poste tout, mes réponses sont en rouges :

Le but de cet exercice est de démontrer que lim x→o sinx/x = 1

f est la fonction définie sur [0 ; π/2] par f(x) = sinx-x.
a) En déduire les variation de f
F est décroissante sur [0 ; π/2]
b) En déduire que pour tout réel x de [0 ; π/2], sinx≤x
sinx-x≤0
sinx≤x
g est la fonction définie sur [0 ; π/2] par g(x) = sinx-xcosx
a) Etudier les variation de g
g est croissante sur [0 ; π/2]
b) En déduire que pour tout x de [0 ; π/2], xcosx≤sinx
sinx-xcosx≥0
-xcosx≥-sinx
xcosx≤sinx
a) Démontrer que pour tout réel x de [-π/2 ; 0 union 0 ; π/2], cos x≤sinx/x≤1
On rassemble les inégalités trouvés au 1)b) et au 2)b) :
xcosx≤sinx
On divise tout par x :
xcosx/x≤sinx/x≤x/x
Ce qui donne :
cosx≤sinx/x≤1
Mais ceci est valable pour l'intervalle[0 ; π/2] et c'est à cet endroit que je bloque car je n'arrive pas à le prouver pour l'autre intervalle
Merci d'avance pour votre aide.

Salut romain,

dans ta dernière phrase en vert je pense que 0 est exclu de l'intervalle sinon on ne peut avoir cette relation.
Pour le deuxième intervalle, je pense que tu devrais poser X=-x et essayer de montrer que l'inégalité fonctionne pour X. x décrivant l'intervalle ]0;π/2] alors (-x) décrit l'intervalle [-π/2;0[, je te laisse conclure.

(pour les gendarmes, c'est pas la peine de dire que lim (x→0) (1)=1, si jamais tu avais été tenté de le faire)

Merci pour ta réponse,
Quand tu me dit qu'il faut que je pose X=-x c'est a dire qu'il faut que j'écrive X=-x et que je remette exactement la même égalité (sa me parait un peu bête) ou il faut que je remplace x par - x dans l'égalité :
-xcos(-x)≤sin(-x)≤-x
-xcos(-x)/-x≤sin(-x)/-x≤1
xcos(-x)≤sin(-x)≤1
sur [-π/2 ; 0
C'est bien sa?

Oui tu remplaces x par -x, X est juste un nom pour simplifier la rédaction, par contre tu as fait quelques erreurs dans tes lignes de calcul, je te laisse les reprendre.
Par ailleurs, que valent sin(-x) et cos(-x)?

Merci encore, dans la rédaction je dois mettre -x ou X?
cos (-x) = -cos(x)
sin (-x) = -sin(x)
C'est bien sa?
Pour mes erreurs c'est le changement de signe lorsqu'on divise par -x?
Donc sa fait :
-xcos(-x)≤sin(-x)≤-x
-xcos(-x)/-x≥sin(-x)/-x≥1
xcos(-x)≥sin(-x)≥1
-xcos(x)≥sin(x)≥1
sur [-π/2 ; 0
Mais si je rechange les signes je ne retrouve pas la même inéquation que l'autre.

cos(-x)=cos(x)

tu as trouvé que cosx≤sinx/x≤1 est vrai pour x∈ ]0;π/2]
tu dis : je pose X=-x, alors x=-X, tu remplaces x par -X dans la formule, les - s'annulent tu trouves la même relation, tu peux alors conclure.

Merci, en fait il ne faut pas change le signe des inégalités.
-xcos(-x)≤sin(-x)≤-x
-xcos(-x)/-x≤sin(-x)/-x≤1
xcos(-x)≤-sin(x)/-x≤1
xcos(x)≤sin(x)/x≤1
sur [-π/2 ; 0
C'est bon maintenant?

Tu n'as pas besoin de refaire le calcul et si tu le refais tu n'aboutis pas au bon résultat (on change bien le signe quand on divise par un nombre négatif) parce que les deux inégalistés sur lesquelles tu te fondes sont fausses pour un nombre de l'intervalle [-π/2;0[ donc il est mieux de partir de l'inégalité à laquelle tu as abouti pour x, pour le remplacer par -X.

Ah oui merci beaucoup la j'ai bien compris et je retrouve le résultat

Bon j'en suis a la démonstration des gendarmes. Pouvez vous me dire si ma démonstration est bonne?

Toutes mes limites tendent vers 0

Soit f(x)=cosx
Soit h(x)=1
lim h(x)=λ=limh(x)
donc lim f(x)=λ=lim h(x)
soit r>0
Alors il existe un intervalle 0;π/2] tel que si x appartient a 0;π/2] alors
λ-r≤f(x)≤λ+r
Alors il existe un intervalle 0;π/2] tel que si x appartient a 0;π/2] alors
λ-r≤h(x)≤λ+r
Soit x appartient 0;π/2] , on a alors :
λ-r≤f(x)≤λ+r et λ-r≤h(x)≤λ+r
Soit x appartient 0;π/2], on a alors :
λ-r≤f(x)≤g(x)≤h(x)≤λ+r
Donc lim g(x)=λ
lim g(x)=1 sur 0;π/2]

Après il faut que je refasse la meme chose en remplaçant l'intervalle 0;π/2] par -π/2 ; 0
Merci

ouh là, tu fais bien compliqué,
tu sais que pour tout x∈[-π/2;0[∪]0;π/2], cos x≤(sinx)/x≤1
or $lim_{(x→0)}$ cosx=1
Donc d'après le théorème des gendarmes $lim_{(x→0)}$ (sinx)/x=1.
J'ai du mal à comprendre ton raisonnement, à moins que tu n'aies pas vu le théorème des gendarmes en cours, la justification que j'ai écrite suffit.

Beh en fait je croyais qu'il fallait démontere le théorème. En fait il faut juste le citer?

bah je ne sais pas quelle est la question exactement?

En déduire avec le théorème des gendarme que lim x tend vers 0 sinx/x=1.