Conjecturer l'expression d'une suite et la démontrer

slt tout le monde
j'ai un dm de math a rendre
mais le probleme c'est qu'aucune personne de ma classe n'arrive à décoller
si vous pouviez nous aider rapidement
étant donné que c'est pour le mardi 19 septembre
sa serai vraiment cool
voici l'exo:
u suite définie par Uo=2, U1= 3 et pr tout n apartenat aux entier naturel, Un+2= 3Un+1-2Un

Calculer U2, U3, U4, U5, U6 et U7
Emettre une conjecture quant à l''expression de Un en fonction de l'entier n
Démontrer la conjecture par récuurrence

voila
le probleme c'est que l'on a aucun cours sur le raisonnement par récurrence et on ne peut pas demander d'aide au prof étant donné qu'on le revoie que mardi, jour ou on odit rendre le dm

on a esayé de calculer les premiers termes mais personne ne retoùbe sur ses pieds, en plus le Un+2 nous perturbe
alrs s'il vous plait, on a vraiment besoin d'aide
mdr
merci beaucoup en tout cas de répondre rapidement

Titre modifié, N.d.Z.*

Salut

$u_0=2,; u_1= 3,; u_{n+2}= 3u_{n+1}-2u_n$

Calcul de $U_2$ : on applique la formule définissant $U_{n+2}$ en remplaçant n par 0

$u2=3u1−2u0=3×3−2×2=5u_2 = 3u_1-2u_0 = 3\times3-2\times2 = 5$

C'est le même principe pour les autres termes en utilisant $U_2$ et $U_1$ pour calculer $U_3$ , etc.

Lorsque tu auras les valeurs suivantes, marque-les ici pour qu'on puisse regarder la suite.

en fait, pour la suite, je fais par exemple pour U3, je fais, 3U2-2U1=3 X 5 - 2 X 3??
c'est cela,??
et je fais ca ainsi de suite
je reviens quand j'aurais fini mes calculs
merci en tout cas

Oui c'est ça.

donc j'obtiens U2=5
U3= 9
U4= 17
U5= 33
U6= 65
U7= 129
est ce que c'est ca??
sa me parait bizarre que les chiffres obtenue changent autant
et pour la suite comment je peux faire??
sans cours je suis vraiment perdu!!
merci

C'est bien cela.

Maintenant on en est à la partie "conjecture", qui consiste à faire une "remarque qui semble vraie", n'est-ce pas.

Observe bien les nombres obtenus et les liens entre eux ; il y a un rapport entre les nombres de deux lignes successives qui "saute aux yeux".
Tâche de le découvrir et de le formuler.

La récurrence viendra après ça.

je pensais à 2 exposant n - 1 amis j'ai pas l'impression que sa marche bien
et que se soit vrai

Non : ça ne marche déjà plus pour $U_4$ : $2^4$ -1 = 15 ≠ 17.

Cherche plutôt un lien entre $U_2$ et $U_3$ , qui serait le même qu'entre $U_3$ et $U_4$ ...

j'ai remarqué que l'on multipliai par un meme nombre
par exemple entre U2 et U3, on multiplie donc par 3
de meme pour U3 et U4, on multiplie dans les deux cas pr 5
ca à un rapport ou pa??
tu c'est, tu n'es pas sorti de l'auberge avec moi
je suis parfois longue à la détente
mais sa va venir j''spè-re

oui, sa doit etre sa
sa fait pareil pour tous les autres U

Cela n'a pas l'air de fonctionner.

Reprenons la liste :
$u_0=2\u_1=3\u_2=5\u_3= 9\u_4= 17\u_5= 33\u_6= 65\u_7= 129$

Le lien est simple, entre 9 et 17 par exemple on le "sent" bien.

jveux pas paraitre chiante, mais jvois pas a part ke l'on ajoute 8
lol
bon je vais manger
on réfléchira tout à l'heure, vers 13h30
merci

C'est exact ; on aurait aussi pu dire que 17 = 2×9 - 1,
càd $U_4$ = 2× $U_3$ - 1.

Revenons à 8. c'est une puissance, non ? quel est son exposant ?

Continue à étudier les différences entre les termes consécutifs.

son exposant c 3
$2^3$
voila
mais ca mene ou tout ca??

salut mandinette,

ça mène à dire que $U$ _4 $U_3$ +2³
est-ce qu'il n'y aurait pas une relation similaire entre $U_3$ et $U_2$ ou entre $U_5$ et $U_4$ ?

et bien si, il y a un lien, à savoir ils sont tous exposant 3
non?? c'est cela??

qu'est-ce qui est exposant 3? Non je ne pense pas que ce soit ça? Je te laisse chercher un peu.

$U0=U1+2^n$
c'est pas quelque chose de ce genre??

ya une piste mais ce que tu as écrit ne veut pas dire grand chose, U0 ne s'exprime pas en fonction de n, si tu veux écrire quelque chose en fonction de n c'est Un

ah oui
excsue moi
c $Un=U0+2^n$
ca va mieu la,??

l'écriture est correcte mais la relation est fausse, n'essaie pas de généraliser directement essaie déjà d'exprimer U4 en fonction de U3, U3 en fonction de U2, U2 en fonction de U1...

ok
mais jvois vraiment pas
U4 en fonction de U3 ca donne: $U4=U3+2^3$ -1
nn??
cava bien comme ca jpense!!
U3 en fonction de U2: $U3=U2+2^3$ -1

ca va la??

ben non ca va pas
je c'est plus la
je suis perdu jcrois

Cernons le problème

on passe de $U_0$ à $U_1$ en multipliant par ? ou en additionnant ?
on passe de $U_1$ à $U_2$ en multipliant par ? ou en additionnant ?
on passe de $U_2$ à $U_3$ en multipliant par ? ou en additionnant ?

etc ....

ben on additionne 1 pr passer de U0 à U1
de U1 à U2: on ajoute 2
de U2 à U3: on ajoute 4
de U3 à U4: on ajoute 8
a oui je vois
on multiplie apr 2 a chaque fois
12
puis 22
opuis 4*2
c'est cela??
je comprends ieux la!!

est ce que la conjecture ne serait pas U0=2n-1 apr hasard??

ah nn ca marche pas en fait
en tt cas pas pour U0
je crois pas
dis moi cke tu en pesne?

ne réponds pas trop vite et réécrit

$U_1$ = quelque chose en fonction de $U_0$

$U_2$ = quelque chose en fonction de $U_1$

etc ....

U1= U0+1
U2=U1+2
U3=U2+4
etc.....
apres, c'est ca!!??

tu peux vérifier toute seule non ?

ben c'est ce que j'ai fait
et c'est cela
oui j'ai vérifié et tout marche bien
c'est bon??

on peut donc passer a la conjecture elle meme puis au petit 3 de l'exercice??
la conjecture c'est pas quelque chose comme $Un=U0+n^2$

Non?

qu'est ce qui se passe, pourquoi personne repond?

Minute : on a tous une vie en dehors du forum.

On a
$u_4$ = $u_3$ + 8
= $u_3$ + $2^3$

Mais aussi
$u_3$ = $u_2$ + 4
= $u_2$ + $2^2$

Donc
$u_4$ = $u_2$ + $2^2$ + $2^3$

On arrive au bout du compte (à toi de t'en assurer) à
$u_4$ = $u_0$ + 1 + 2 + 4 + 8
= $u_0$ + $2^0$ + $2^1$ + $2^2$ + $2^3$

Est-ce que ceci peut s'écrire plus simplement ?
La somme 1+2+4+8 vaut 15 = 16-1, càd
$2^0$ + $2^1$ + $2^2$ + $2^3$ = $2^4$ - 1.

Une relation est $u_4$ = $u_0$ + $2^4$ - 1.

Est-ce que ça fonctionne sur les autres termes ?

oui sa fonctionne sur les autres termes
et je pense que sa peut s'écrire aussi $Un=U0+2^n$
non??

Il me semble qu'il faut retrancher 1, non ?

oups
oui bein sur
cza donne donc pour le 2 de l'exo, la conjecture suivante
$Un=U0+2^{n-1}$

c'est cela??
on y est cette fois?

Non : ce n'est pas à l'exposant que l'on retranche 1 !

ah non je c bien ke ...
ah oui
désolé
j'ai mal noté ca
je reprend
lol
donc c'est $Un=U0+2^n$ -1
ca va mieux la?
lol

Une conjecture est donc la relation suivante

$u_n= 2^n + 1,$
qui semble vraie pour tout entier n.
J'ai utilisé le fait que $U_0$ = 2.
C'est le principe de récurrence qui va maintenant permettre (si tout va bien), de prouver ce fait.

Remarque : on aurait pu aller beaucoup plus vite pour trouver cette conjecture, si tu avais vu que les puissances de 2 sont 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256... ça peut aider de connaître les suites de nombres particuliers de cette sorte.

pourquoi tu ajoute 1 cette fois au lieu de retranché comme tout à l'heure?
sinon
on afit comment pour la suite??
pour le principe de récurrence ke je n'ai jamais vu en cours??