dernier pb pour le 19/09 : suite et somme des cubes



  • voila le tout dernier exercice important pour le 19/09
    c'est encore et toujours sur la récurrence dont je n'ai pas de cours
    ptdr
    voici l'exercice:

    on se propose de déterminer le terme général de la suite u définie par Uo=0 et our tout n appartenant aux naturels, Un+1=Un + (n+1)2(n+1)^2

    1. déterminer l'unique polynome P de degré 3 tel que P(0)= 0 et qulque soit x ∈ aux réels grd R, P(x+1) - P(x) = x2x^2
      2.montrer que pour tout entier naturel n, Un= P(n+1)
    2. en déduire alors que pour tt entier naturel n, Un= n(n+1)(2n+1) le tout sur 6

    la j'ai pas du tout démarrer je suis bloqué
    merci de votre aide


  • Modérateurs

    comment s'exprime de manière générale un polynome de degré 3?
    qu'est-ce que p(0)=0 implique dans cette écriture?



  • tu me demandes que je te le dises parcke tu le sais pas ou c'est ce que tu veux me faire dire??
    mdr
    désolé je suis un peu longue à la détente!!!


  • Modérateurs

    parce que je le sais et que je veux que tu le trouves toute seule, la forme générale d'un polynôme de degré 2 est ax²+bx+c, donc quelle est celle d'un polynome de degré 3?



  • c axax^3+bx2+bx^2+cx+d
    c ca non???



  • sa na pas l'air d'etre ca
    si???
    je c'est pas, tu rep pas, c ke c'est aps sa??



  • ca c'est le dernier exo de mon dm
    mais c'est avec lui que j'ai el plus de probleme et c'est pour mardi
    donc voila...
    si vous pouviez me répondre, sa serait vraiment cool
    au moujns pour savoir si je ss pas sur une fausse piste
    merci bien



  • Si c'est bien ax3+bx2+cx+d



  • ok merci
    ensuite je fais quoi
    enfin comment je m'y prend pour la suite de l'exercice??
    ca te gene pas la terminale S??
    tu va pouvoir m'aider?



  • En fait il faut que P(0) = 0
    pour que a(0)3a(0)^3 + b(0)² + c0 + d = 0
    il faut que d= 0
    si d= 0 tu as donc ton plynome du 3eme degré qui ressemble à ça
    ax3ax^3 + bx² + cx =0



  • j'ai juste à noter ca alors ou il faut ke je dévelooppe ou ke j'explique kelke chsoe peut etre??non?



  • comment je fais pour prouver que d=0??
    je c plus du tout
    lol



  • Ensuite on te demande P(x+1) - P(x) = x²
    ce qui s'ecrit sous la forme :
    a(x+1)3a(x+1)^3 + b(x+1)² + c(x+1) - [ ax3ax^3 + bx² + cx ] = x²

    développe et regarce ce que ça donne

    **d=0 car pour qu'un polynome du degré 3 soit egal à 0 lorsque x=0 il faut forcement que le reel d qu'on ajoute à la fin soit nul regarde on cherche à avoir

    ax3ax^3 +bx² + cx + d = 0
    on prend x= 0 ce qui donne :
    a × 0 + b x 0 + c x 0 + d = 0
    donc pour que l'ensemble soit égal à 0 il faut
    d = 0



  • ok
    dsl mais je c plus comment on développe le cube
    sinon pour le retse je vais continuer
    et je te dis dès que j'ai trouvé



  • ( a + b )³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab²



  • je te remercie
    pour l'instant j'obtiens un truc du genre
    axax^3+a+a^3+3x+3x^2b+3x+bxb+3x+bx^2+2bx+b+cx+cax+2bx+b+cx+c-ax^3bx-bx^2cx=x2-cx=x^2

    alors dis moi ce que tu en penses??
    il faut que je continue à dévelooper mais dis moi si jusque la c'est bon déja
    merci



  • j'obteins ensuite
    aa^3+3x+3x^2b+3x+2bx+b+c=x2b+3x+2bx+b+c=x^2

    c'est ca, jme suis pas gouré??



  • Non regarde àa faot a(x³ + 1 + 3x² + 3x) + b(x²+1+2X) +cx + c -ax³- bx² -cx
    donc ax³ + a + 3ax² + 3ax + bx² + b + zbx + cx + c -ax3 -bx² - cx

    mais attend ça me parait byzare vu qu'on doit trouver = x²



  • t sur ke tu t'es pas gourré??
    non
    sa s'arrete la??
    apres avoir obtenu ca, on fait koi?



  • Bon ça y est j'ai fait le 1) je te le redige donne moi 5 min



  • ok
    merci bcp
    je te suis vraiment reconnaissante



  • On a donc notre polynome ax³ + bx² + cx
    et on cherche à ce que
    a(x+1)³ + b(x+1)² + c(x+1) - ax³ - bx² - cx = x²
    On développe ce qui donne
    a(x³+1+3x²+3x) + b(x² + 1 + 2x) + c(x+1) - ax³ - bx² -cx = x²
    après simplification ça donne
    3ax² + 3ax + 2bx + a + b + c = x² ou bien
    3ax² + (3a+2b)x + a + b + c = x² Pour que cette egalité soit vraie il faut que
    3a = 1
    3a + 2b = 0
    a+b+c = 0
    car pour que le tout soit égal à x² il faut que il y ai le coefficent 1 à x² et rien d'autre d'où le 3a = 1 et les autres coefficents égales à 0
    à partir de ces 3 égalités tu peux trouver a , b et c
    ce qui donne a = 1/3 , b= -1/2 et c=1/6
    donc le polynome final qu'on trouve en remplaçant a , b et c par leurs valeurs c'est :
    x³/3 -x²/2 +x/6



  • Bon je dois y aller j'espère que t'as compri en tout cas c'est ça j'en suis sur j'ai vérifié on a bien P(0) = 0 et P(x+1) - P(x) = x²



  • ok
    jusque la je suis tout à fait d'accord
    ensuite pour la suite de l'exo, on fait comment?



  • attedn avt de paritr stp
    aide moi a finir o moins cet exo
    stp
    stp



  • dsl je revien ce soir il faut v:mt que j'y aille mais je revien ce soir a tte



  • a kel heure,??
    je seré la
    jtaten
    merci bcp en tt k



  • j'ai fait tout ca
    j'ai bien compris
    mais pour la suite, nivo rédac, comment je dois m'y prendre??



  • Je sais pas vmt en fait je peux pas rediger à ta place mais si t'as compris devrait pas y avoir de probleme d'abord tu montre que le polynome P(x) pour que P(0) = 0 il faut forcement que d = 0 tu as compris ça ?
    ensuite tu te lance dans la recherche de a , b et c en utilisant l'egalité dans l'ennoncé P(n) - P(n+1) = x ²
    tu développe et t'en déduis les trois egalités comme je t'ai montré:
    3a = 1
    3a + 2b = 0
    a+b+c = 0
    avec ça tu trouve les inconnus et t'en déduis le polynome P(x) :x³/3 - x²/2 - x/6 qui est égal à 0 quand x = 0 et qui , soustrait à P(n+1) donne x² comme il etait demandé dans l'ennoncé.



  • opk pour ca
    c'est bon
    j'ai compris
    mais pour la suite de l'exercice, comment je m'y prend?


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