Résoudre un problème sur les suites et somme des cubes par récurrence

voila le tout dernier exercice important pour le 19/09
c'est encore et toujours sur la récurrence dont je n'ai pas de cours
ptdr
voici l'exercice:

on se propose de déterminer le terme général de la suite u définie par Uo=0 et our tout n appartenant aux naturels, Un+1=Un + $n+1)^2$

déterminer l'unique polynome P de degré 3 tel que P(0)= 0 et qulque soit x ∈ aux réels grd R, P(x+1) - P(x) = $x^2$
2.montrer que pour tout entier naturel n, Un= P(n+1)
en déduire alors que pour tt entier naturel n, Un= n(n+1)(2n+1) le tout sur 6

la j'ai pas du tout démarrer je suis bloqué
merci de votre aide

comment s'exprime de manière générale un polynome de degré 3?
qu'est-ce que p(0)=0 implique dans cette écriture?

tu me demandes que je te le dises parcke tu le sais pas ou c'est ce que tu veux me faire dire??
mdr
désolé je suis un peu longue à la détente!!!

parce que je le sais et que je veux que tu le trouves toute seule, la forme générale d'un polynôme de degré 2 est ax²+bx+c, donc quelle est celle d'un polynome de degré 3?

c $a x$ ^3 $bx^2$ +cx+d
c ca non???

sa na pas l'air d'etre ca
si???
je c'est pas, tu rep pas, c ke c'est aps sa??

ca c'est le dernier exo de mon dm
mais c'est avec lui que j'ai el plus de probleme et c'est pour mardi
donc voila...
si vous pouviez me répondre, sa serait vraiment cool
au moujns pour savoir si je ss pas sur une fausse piste
merci bien

Si c'est bien ax3+bx2+cx+d

ok merci
ensuite je fais quoi
enfin comment je m'y prend pour la suite de l'exercice??
ca te gene pas la terminale S??
tu va pouvoir m'aider?

En fait il faut que P(0) = 0
pour que $a(0)^3$ + b(0)² + c0 + d = 0
il faut que d= 0
si d= 0 tu as donc ton plynome du 3eme degré qui ressemble à ça
$ax^3$ + bx² + cx =0

j'ai juste à noter ca alors ou il faut ke je dévelooppe ou ke j'explique kelke chsoe peut etre??non?

comment je fais pour prouver que d=0??
je c plus du tout
lol

Ensuite on te demande P(x+1) - P(x) = x²
ce qui s'ecrit sous la forme :
$a(x+1)^3$ + b(x+1)² + c(x+1) - [ $ax^3$ + bx² + cx ] = x²

développe et regarce ce que ça donne

**d=0 car pour qu'un polynome du degré 3 soit egal à 0 lorsque x=0 il faut forcement que le reel d qu'on ajoute à la fin soit nul regarde on cherche à avoir

$ax^3$ +bx² + cx + d = 0
on prend x= 0 ce qui donne :
a × 0 + b x 0 + c x 0 + d = 0
donc pour que l'ensemble soit égal à 0 il faut
d = 0

ok
dsl mais je c plus comment on développe le cube
sinon pour le retse je vais continuer
et je te dis dès que j'ai trouvé

( a + b )³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab²

je te remercie
pour l'instant j'obtiens un truc du genre
$a x$ ^3 $+ a$ ^3 $+ 3 x$ ^2 $b + 3 x + b x$ ^2 $+ 2 b x + b + c x + c - a x$ ^3 $- b x$ ^2 $cx=x^2$

alors dis moi ce que tu en penses??
il faut que je continue à dévelooper mais dis moi si jusque la c'est bon déja
merci

j'obteins ensuite
$a$ ^3 $+ 3 x$ ^2 $b+3x+2bx+b+c=x^2$

c'est ca, jme suis pas gouré??

Non regarde àa faot a(x³ + 1 + 3x² + 3x) + b(x²+1+2X) +cx + c -ax³- bx² -cx
donc ax³ + a + 3ax² + 3ax + bx² + b + zbx + cx + c -ax3 -bx² - cx

mais attend ça me parait byzare vu qu'on doit trouver = x²

t sur ke tu t'es pas gourré??
non
sa s'arrete la??
apres avoir obtenu ca, on fait koi?

Bon ça y est j'ai fait le 1) je te le redige donne moi 5 min

ok
merci bcp
je te suis vraiment reconnaissante

On a donc notre polynome ax³ + bx² + cx
et on cherche à ce que
a(x+1)³ + b(x+1)² + c(x+1) - ax³ - bx² - cx = x²
On développe ce qui donne
a(x³+1+3x²+3x) + b(x² + 1 + 2x) + c(x+1) - ax³ - bx² -cx = x²
après simplification ça donne
3ax² + 3ax + 2bx + a + b + c = x² ou bien
3ax² + (3a+2b)x + a + b + c = x² Pour que cette egalité soit vraie il faut que
3a = 1
3a + 2b = 0
a+b+c = 0
car pour que le tout soit égal à x² il faut que il y ai le coefficent 1 à x² et rien d'autre d'où le 3a = 1 et les autres coefficents égales à 0
à partir de ces 3 égalités tu peux trouver a , b et c
ce qui donne a = 1/3 , b= -1/2 et c=1/6
donc le polynome final qu'on trouve en remplaçant a , b et c par leurs valeurs c'est :
x³/3 -x²/2 +x/6

Bon je dois y aller j'espère que t'as compri en tout cas c'est ça j'en suis sur j'ai vérifié on a bien P(0) = 0 et P(x+1) - P(x) = x²

ok
jusque la je suis tout à fait d'accord
ensuite pour la suite de l'exo, on fait comment?

attedn avt de paritr stp
aide moi a finir o moins cet exo
stp
stp

dsl je revien ce soir il faut v:mt que j'y aille mais je revien ce soir a tte

a kel heure,??
je seré la
jtaten
merci bcp en tt k

j'ai fait tout ca
j'ai bien compris
mais pour la suite, nivo rédac, comment je dois m'y prendre??

Je sais pas vmt en fait je peux pas rediger à ta place mais si t'as compris devrait pas y avoir de probleme d'abord tu montre que le polynome P(x) pour que P(0) = 0 il faut forcement que d = 0 tu as compris ça ?
ensuite tu te lance dans la recherche de a , b et c en utilisant l'egalité dans l'ennoncé P(n) - P(n+1) = x ²
tu développe et t'en déduis les trois egalités comme je t'ai montré:
3a = 1
3a + 2b = 0
a+b+c = 0
avec ça tu trouve les inconnus et t'en déduis le polynome P(x) :x³/3 - x²/2 - x/6 qui est égal à 0 quand x = 0 et qui , soustrait à P(n+1) donne x² comme il etait demandé dans l'ennoncé.

opk pour ca
c'est bon
j'ai compris
mais pour la suite de l'exercice, comment je m'y prend?

en fait, il faut que je soustrait mon polynome trouvé à P(n+1) et je dois toruver $x^2$
c'est ca?

hum bonne question ,j'arrive au 3) mais pas au 2) faut que je m'y penche un peu

ok
je te laisse le temps si tu veux
prévien moi quand tu auras compris
lol
car moi pour l'instant
c'est aps sa
ok?
merci en tout cas de ton aide

Est-ce que tu as étudié la démonstration par récurrence ? je pense que c'est comme ça qu'il faut procéder pour la 2)

benoui
c'est comme cela qu'il faut procédé mais c'ets justement le pb
j'ai jamais fait ca en cours
et j'ai 3 exo sur la récurrence dont celui que tu essaie de maider a faire
alors ben dis moi tout...stp

tuè t'en sors??parcke moi, mon bateau est en train de couler
lol

Ok je viens de comprendre pourquoi je n'y arrive pas j'ai fait une erreur de calcul: P(x) = x³/3 - x²/2 + x/6 et non pas x³/3 - x²/2 - x/6 corrige donc si t'as recopié car a + b + c = 0 si on remplace a par 1/3 et b par -1/2 eh ben c = 1/6 et non pas -1/6

ok
merci
c bon pr ca

sa va??
ta pa l'air d'etre tres inspiré non?

Bon alors passons au chose serieuse
raisonnement par recurrence pour montre que Un = P(n+1)

I ) Initialisation : On vérifie que l'égalité est vraie pour n = 0
$U_0$ = 0 ; P(0+1) = P(1) = 1/3 - 1/2 + 1/6 = 0 aussi
L'égalité est vérifiée pour n = 0

II) Hérédité : On admet que Un = P(n+1) , c'est notre hypothese (meme si on l'a pas encore démontré on la considere comme vraie) pour montrer que Un+1 = P(n+2) alors :

P(n+2) c'est donc 1/3(n+2)³ - 1/2(n+2)² + 1/6(n+2) je te laisse développer , oubli pas que (a+b)³ = a³+ b³ + 3a²b + 3ab² (c'est un peu le sal boulot mais faut bien que tu travaille un peu lol^^)

Un+1 = Un + (n+1)² (d'apres lénnoncé)
= P(n+1)* + (n+1)² d'apres notre hypothese
= P(n) + n² + (n+1)² *d'apres ce qu'on a démontrer en 1)
= n³/3 - n²/2 + n/6 + n² + (n+1)²

La aussi je te laisse développer tu dois tomber sur le même truc et là t'auras démontrer que Un+1 = P(n+2) et on pourra continuer la suite de la demonstration par recurrence qui sera quasiment finie