Résoudre un exercice de dénombrement



  • Bonjour !
    Alors voilà j'ai un exercice en probabilité qui me donne du mal :

    2n joueurs sont engagés à un tournoi de tennis.Le premier tour de ce tournoi va mettre aux prises ces joueurs au cours de n rencontres.

    Démontrez qu'il y a (2n)!2n.n!\frac{(2n)!}{2^n . n!} façons d'oragniser ce premier tour

    *le point est un multiplier



  • Ahlàlà, les énoncés de dénombrement !
    qu'entendre par "façons d'organiser ce premier tour", pour répondre à ta question ?
    je parviens à peu près à concevoir que n!×2n2^n×N = (2n)!, mais pour l'expliquer...



  • ben en fait il y a 2n joueurs et il va y avoir n rencontres de 2 joueurs pour le premier tour mais apres moi j'arrive pas leur (2n)!/(2n(2n)!/(2^n x n!)

    Je ne comprend pas d'où sort le 2n2^n
    et je ne comprend pas ta reponse zauctore quand tu dis que n! x 2n2^n x N = 2n!
    qu'est-ce que N ?



  • ah oui, ce N est le "nombre de façons d'organiser ce 1er tour de tournoi



  • Je ne vois pas comment on peut arriver à un tel résultat ...
    Je pensais à un bête problème de combinatoire où je faisais : CC_{2n}2^2 qui se simplifie en n(2n-1) ...
    Si tu veux bien nous faire part de la correction zoombinis, je suis intéressé.
    A+



  • héhé je n'ai pas la correction justement , je pensais la trouver ici 😆



  • 😁



  • Alors notre prof nous l'a donné en DM , j'ai été obligé de le faire , j'ai eu du mal mais bon en fait c'etait pas si dur que , il suffisait d'avoir le ... "declic"

    On a 2n joueurs , numerotés de 1 à 2n
    Le 1er joueur aura le choix parmis 2n-1 adversaires ( il ne peut pas se prendre lui même)
    Le 2eme joueur , lui aura le choix parmis 2n - 3 adversaires ( il ne peut pas de prendre lui même , il ne peut pas prendre le 1 car il a déja choisi et il ne peut pas prendre l'adversaire que le 1 a choisi) SAUF si le joueur 1 a choisi le joueur 2 dans ce cas la on passe directement au 3eme joueur qui aura toujours 2n - 3 adversaires (le fait que le joueur suivant soit choisi ou pas n'a donc pas d'influence sur la demonstration)

    Ainsi n joueurs vont choisir leurs adversaires , car n joueurs vont choisir et n joueurs vont être choisis ( donc par conséquent ne pourront pas choisir)

    Comme ça on avance de (2n-1)x(2n-3)x ...x 3 x 1
    Mais ne s'agirait donc pas des termes pairs de 2n! ?
    reprenons la formule de départ 2n! / (2n(2^n x n!)
    Cette formule sert à annuler tous les termes pairs de 2n!
    En effet, n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1
    multiplié par 2n2^n
    2n2^n x n! = 2n x (2n-2) x (2n - 4) x ... x 4 x 2
    il s'agit de tous les termes pairs de 2n!

    La formule de départ peut donc s'ecrire (2n-1) x (2n-3) x...x 3 x 1
    Et c'est bien ce que l'on retrouve au début.
    Les façons d'organiser un match de Tennis avec 2n joueurs sont égales à un 2n! où l'on supprimerai tous les termes pairs



  • Pour expliquer d'où vient le 2n2^n...

    Les 2n joueurs de tennis doivent se rencontrer 2 à 2 en même temps, il y aura donc n matchs. Lors de ce premier tour le 1er court opposera un joueur et un autre choisi parmi 2n-1 joueurs.
    Le deuxième court opposera un joueur et un autre choisi parmi 2n-3 joueurs (c'est à dire tous les joueurs excepté les deux joueurs du premier court).
    Le troisième court opposera un joueur et un autre parmi 2n-5...etc...pour le dernier court il reste deux joueurs donc 1 seul choix.

    Il y a donc (2n-1) (2n-3) (2n-5)...(1) façons d'organiser ce premier tour.

    Or (2n-1) (2n-3) (2n-5)...(1) = (2n)! / (2n) (2n-2) (2n-4) (2n-6)...(2) = (2n)! / 2 (n) 2 (n-1) 2 (n-2) 2 ( n-3)...2 (1) =
    (2n)! / 2x2x2×2...(n fois) (n) (n-1) (n-2) (n-3)...(1)

    Ce qui donne: (2n)! / 2n2^n n!


 

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