Résoudre un exercice de dénombrement

Bonjour !
Alors voilà j'ai un exercice en probabilité qui me donne du mal :

2n joueurs sont engagés à un tournoi de tennis.Le premier tour de ce tournoi va mettre aux prises ces joueurs au cours de n rencontres.

Démontrez qu'il y a $(2n)!2n.n!\frac{(2n)!}{2^n . n!}$ façons d'oragniser ce premier tour

*le point est un multiplier

Ahlàlà, les énoncés de dénombrement !
qu'entendre par "façons d'organiser ce premier tour", pour répondre à ta question ?
je parviens à peu près à concevoir que n!× $2^n$ ×N = (2n)!, mais pour l'expliquer...

ben en fait il y a 2n joueurs et il va y avoir n rencontres de 2 joueurs pour le premier tour mais apres moi j'arrive pas leur $2n)!/(2^n$ x n!)

Je ne comprend pas d'où sort le $2^n$
et je ne comprend pas ta reponse zauctore quand tu dis que n! x $2^n$ x N = 2n!
qu'est-ce que N ?

ah oui, ce N est le "nombre de façons d'organiser ce 1er tour de tournoi

Je ne vois pas comment on peut arriver à un tel résultat ...
Je pensais à un bête problème de combinatoire où je faisais : $C$ _{2n} $^2$ qui se simplifie en n(2n-1) ...
Si tu veux bien nous faire part de la correction zoombinis, je suis intéressé.
A+

héhé je n'ai pas la correction justement , je pensais la trouver ici

Alors notre prof nous l'a donné en DM , j'ai été obligé de le faire , j'ai eu du mal mais bon en fait c'etait pas si dur que , il suffisait d'avoir le ... "declic"

On a 2n joueurs , numerotés de 1 à 2n
Le 1er joueur aura le choix parmis 2n-1 adversaires ( il ne peut pas se prendre lui même)
Le 2eme joueur , lui aura le choix parmis 2n - 3 adversaires ( il ne peut pas de prendre lui même , il ne peut pas prendre le 1 car il a déja choisi et il ne peut pas prendre l'adversaire que le 1 a choisi) SAUF si le joueur 1 a choisi le joueur 2 dans ce cas la on passe directement au 3eme joueur qui aura toujours 2n - 3 adversaires (le fait que le joueur suivant soit choisi ou pas n'a donc pas d'influence sur la demonstration)

Ainsi n joueurs vont choisir leurs adversaires , car n joueurs vont choisir et n joueurs vont être choisis ( donc par conséquent ne pourront pas choisir)

Comme ça on avance de (2n-1)x(2n-3)x ...x 3 x 1
Mais ne s'agirait donc pas des termes pairs de 2n! ?
reprenons la formule de départ 2n! / $2^n$ x n!)
Cette formule sert à annuler tous les termes pairs de 2n!
En effet, n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1
multiplié par $2^n$
$2^n$ x n! = 2n x (2n-2) x (2n - 4) x ... x 4 x 2
il s'agit de tous les termes pairs de 2n!

La formule de départ peut donc s'ecrire (2n-1) x (2n-3) x...x 3 x 1
Et c'est bien ce que l'on retrouve au début.
Les façons d'organiser un match de Tennis avec 2n joueurs sont égales à un 2n! où l'on supprimerai tous les termes pairs

Pour expliquer d'où vient le $2^n$ ...

Les 2n joueurs de tennis doivent se rencontrer 2 à 2 en même temps, il y aura donc n matchs. Lors de ce premier tour le 1er court opposera un joueur et un autre choisi parmi 2n-1 joueurs.
Le deuxième court opposera un joueur et un autre choisi parmi 2n-3 joueurs (c'est à dire tous les joueurs excepté les deux joueurs du premier court).
Le troisième court opposera un joueur et un autre parmi 2n-5...etc...pour le dernier court il reste deux joueurs donc 1 seul choix.

Il y a donc (2n-1) (2n-3) (2n-5)...(1) façons d'organiser ce premier tour.

Or (2n-1) (2n-3) (2n-5)...(1) = (2n)! / (2n) (2n-2) (2n-4) (2n-6)...(2) = (2n)! / 2 (n) 2 (n-1) 2 (n-2) 2 ( n-3)...2 (1) =
(2n)! / 2x2x2×2...(n fois) (n) (n-1) (n-2) (n-3)...(1)

Ce qui donne: (2n)! / $2^n$ n!