3. dm identités remarquable

dm identités remarquable

  • S

    Bonjour,
    Je n'arrive pas à résoudre ce problème, peut-être que quelqu'un pourra m'aider:

    a) Pour n ≥ 2, développer et ordonner le produit (x−1)(xn−1(x-1)(x^{n-1}(x−1)(xn−1 +xn−2+x^{n-2}+xn−2+...+ x + 1)

    b) Soit a et b deux réels:
    -démontrer l'identité: ana^nan - bnb^nbn = (a−b)(an−1(a-b)(a^{n-1}(a−b)(an−1 + an−2a^{n-2}an−2b +...+ abn−2ab^{n-2}abn−2 +bn−1+b^{n-1}+bn−1)

    merci beaucoup

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    Salut

    (x−1)(xn−1+xn−2+⋯+x+1)=x⋅(xn−1+xn−2+⋯+x+1)−1⋅(xn−1+xn−2+⋯+x+1)(x-1)(x^{n-1} +x^{n-2}+\cdots+ x + 1) = x\cdot(x^{n-1} +x^{n-2}+\cdots+ x + 1) - 1\cdot(x^{n-1} +x^{n-2}+\cdots+ x + 1)(x−1)(xn−1+xn−2+⋯+x+1)=x⋅(xn−1+xn−2+⋯+x+1)−1⋅(xn−1+xn−2+⋯+x+1)

    facile à distribuer et réduire : plein de choses disparaissent.

    Même genre d'idée pour la suite.

    Les deux résultats sont TRES importants : il faudra les retenir impérativement !

    S 1 réponse
  • S

    oui seulement je n'arrive pas à savoir ce que je dois faire des ...

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    Les pointillés sont là pour indiquer que la succession des termes se poursuit en suivant la même logique, par exemple avec n=5 :

    (x−1)(x4+x3+x2+x+1).(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1).(x−1)(x4+x3+x2+x+1).

    S 1 réponse
  • S

    oui je sais c'est expliqué sur mon DM si je remplace par un nombre je comprends mais la c'est n≥2 donc je ne peux pas remplacer et du coup il y a presque rien qui s'annule si je passe les ... en faisant comme si ils n'y étaient pas
    pour le b) il n'y a rien qui s'annule

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    les termes y sont quand même ! bien quon ne puisse tous les écrire.

    (x−1)(xn−1+xn−2+xn−3+xn−4+⋯+x5+x4+x3+x2+x+1)(x-1)(x^{n-1} +x^{n-2}+ x^{n-3}+x^{n-4}+\cdots+x^5+x^4+x^3+x^2+ x + 1)(x−1)(xn−1+xn−2+xn−3+xn−4+⋯+x5+x4+x3+x2+x+1)

    pour le b), si si, ça s'annule... sauf deux termes.

    S 1 réponse
  • S

    la je comprends pas tout, voila ce que je crois comprendre

    a) (x-1)(x n−1^{n-1}n−1 +x n−2^{n-2}n−2+...+ x + 1)
    =xn=x^n=xn + xn−1x^{n-1}xn−1 + x² + x - xn−1x^{n-1}xn−1 - xn−2x^{n-2}xn−2 -x -1
    =xn=x^n=xn + x² - x n−1^{n-1}n−1 -1
    mais je suppose que c'est pas ça

    b)(a-b)(a n−1^{n-1}n−1 + a n−2^{n-2 }n−2b +...+ ab n−2^{n-2}n−2 +b n−1^{n-1}n−1)
    =an=a^n=an + a n−1^{n-1}n−1 b +a²b n−2^{n-2}n−2 +ab n−1^{n-1}n−1 -ba n−1^{n-1}n−1 -a n−2^{n-2}n−2 b² -ab n−1^{n-1}n−1 −bn-b^n−bn

    svs aidez moi je vois pas ce que je peux faire...

    kanial 1 réponse
  • kanial
    Modérateurs

    salut scarlett,
    tu te trompes sur la signification des pointillés, par exemple quand tu écris ceci :
    (x-1)(x n−1^{n-1}n−1 +x n−2^{n-2}n−2+...+ x + 1)
    =xn=x^n=xn + xn−1x^{n-1}xn−1 + x² + x - xn−1x^{n-1}xn−1 - xn−2x^{n-2 }xn−2-x -1
    où sont passés les pointillés?
    si j'écris 1+2+...+n, cela ne signifie pas 1+2+n mais cela signifie somme de tous les termes compris entre 1 et n.
    De même lorsqu'on écrit :
    x n−1^{n-1}n−1 +x n−2^{n-2}n−2+...+ x1x^1x1 + x0x^0x0
    cela ne signifie pas :
    x n−1^{n-1}n−1 +x n−2^{n-2}n−2+ x1x^1x1 + x0x^0x0
    mais cela signifie somme des termes du type xkx^kxk, pour tous les k compris entre 0 et n-1.
    J'espère que ça te permettra de comprendre.

    S 1 réponse
  • S

    merci j'ai bien compris mais du coup qu'est-ce que je dois écrire?

Se connecter pour répondre