courbes et polynomes de degré 3

bonjour a tous,

voici l'ennoncé:
On souhaite realisé un profil de type de celui-ci:
En particulier l'arc AC admettra un axe de symetrie par son sommet B, (ou sa tangente est horizontale), l'arc CD admettra une tangente horizontale en D.
On donne : B(0;2) C(1;?) D(2;0)

1- On suppose que C est le millieu de [BD], L'arc ABCD peut il être la representation graphique d'un fonction polynome du 3eme degré?

Et la je patauge un peut :
je suis parti dans pas aml de direction mais je ne trouve pas de resulta concluant. donc voila je demande votre aide pour m'aider a avancer un peut.

merci d'avance

Bonsoir Kheops,
As-tu déjà déterminé les coordonnées des 4 points A, B, C, D ? C'est un préalable nécessaire.

heu ouai sa donne A(-1;1/2) B(0;2) C(1;1/2) D(2;0)

Je te fais confiance pour les coordonnées. Ca n'a pas l'air abérant a priori.

Bon alors, tu cherches une courbe de la forme :
y=ax³+bx²+cx+d
Cette courbe passe par les 4 points A, B, C, D donc les coordonnées (x;y) de ces 4 points doivent vérifier l'équation de la courbe. Comprends-tu cela ?

Comme tu as 4 points, cela va te donner un système de 4 équations avec les 4 inconnues a, b, c, d à déterminer.

... je me reconnecte car j'ai vu une erreur sur tes coordonnées : C doit être le milieu de [BD]

Ensuite pour vérifier que cette fonction polynôme peut être la bonne fonction, il faut vérifier que la tangente en D est une tangente horizontale.

oui en effet il s'agit d'une faute de frappes les coordonnées de B sont en fait B(0;1) dans l'enoncé

pour le systeme de 4 equation j'ai trouver

a = (-3/4)
b = (-5/4)
c = 0
d = 1

se qui ne me donne pas la meme fonction que dans la figure je peut conclure mon exo en disant non? ou y a t'il une erreur de calcule evidente?

Vérifie surtout que tes 4 solutions sont bien les solutions de tes 4 équations. Il faut être sûr que tes équations sont bonnes : les as-tu vérifiées ?

Par contre la condition :
Citation
En particulier l'arc AC admettra un axe de symetrie par son sommet Bme pose un problème. J'avais seulement pensé : C est le symétrique de A.
Pour vérifier cette condition telle qu'elle est écrite, il faut au moins que la fonction admette un maximum pour B.

Je suis perplexe quant à ton ennoncé ...

est-ce qu'en A ou C l'énoncé dit s'il y a une tangente verticale ?

j'ai pourtant copier l'enoncer mots pour mots...
j'avais interpretter que B était seulement le sommet de l'arc pas de la fonction.

par contre je vien de refaire mes calcules j'avais fait deux assez gros erreur en me precipitant et apres verification je trouve : a=1/6 b=-1/2 c=-1/6 d=1
et la miracle ma courbe est exactement comme celle de l'enoncé par contre elle n'a absolument pas de maximum en B.

Merci pour cette aide precieuse je vais donc pouvoir continuer mon DM

Zauctore
est-ce qu'en A ou C l'énoncé dit s'il y a une tangente verticale ?
non l'enoncer ne le dit pas et on en vois pas sur la figure de de l'enoncer qui est un peut plus exact que ma reproduction

t'es pas difficile : vois l'image avec la fonction que tu proposes $16x3−12x2−16x+1\frac16 x^3 - \frac12x^2-\frac16x + 1$

à mon avis, ça ne peut pas être une courbe de polynôme de degré 3...

c'est vrai que la courbe passe par les bons points mais AC n'est pas symetrique par B. mais a se moment la esque cette analise est sufisente pour dire que ça ne peut pas etre une courbe de polynome de degré 3? ou il y a d'autre moyen de justification?

désoler de poser autant de question mais je ne connais pas grand chose sur les polynome de degré 3

Il existe une unique courbe de degré 3 passant par 4 points (car 4 équations donnent 4 coefficients). Celle-ci passe par les 4 points mais vérifie-t-elle les autres critères ? Là est la question ....