encore un prob sur l'étude d'une fonction



  • Bonjour à tous !!! J'ai un petit prob avec l'exercice suivant:

    Soit a et b deux réels et f la fonction définie sur R par:
    f(x)= ax² + 6x -5 , si x<1
    f(x)= (b/x)-x , si x>1
    Déterminer les réels a et b pour que f soit dérivable sur R.

    Voila si vous pouviez m'aider ce serait gentil :)...Merci d'avance



  • Bonjour,

    Il doit y avoir un problème d'énoncé, parce que la fonction f ne semble pas définie en 1.

    Or pour être dérivable sur IR il faut au moins qu'elle soit définie sur IR.



  • eu pour f(x)= (b/x)-x , c'est si x> ou égale a 1



  • La dérivabilité pose problème en 1 puisqu'aileurs tu dois pouvoir démontrer que, pour tout a et tout b, la fonction est dérivable.

    Tu peux calculer f'(x) pour x < 1 et f'(x) pour x > 1

    et il faudra que les limites de ces 2 expressions, quand x tend vers 1 en étant >1 et puis en étant <1 , soient égales

    et il faudra aussi que la limite de f(x) quand x tend vers 1 en étant <1 soit égale à f(1), pour que la fonction f soit continue en 1.



  • donc compte rendu des choses :
    f(1)=lim f(x) quand x tend vers 1 < 1 = a+1 jusque la c'est bon
    ensuite j'ai lim 2ax + 6 ( c'est f'(x) pour x < 1) = 2a+6
    et lim -b/x² ( c'est f'(x) pour x> 1 ) = -b
    donc du coup il faudrait que j'ai -b = 2a + 6 si je me suis pas trompé. mais du coup il peut y avoir plein de réels a et b



  • il y a une erreur sur le calcul de f'(x) pour x>1 tu oublies le -x !!!!

    et tu n'utilises pas la condition de continuité en 1...

    un peu de concentration !!! que diable !!! tu n'es plus en 6ème !!! toutes les phrases et tous les mots ont une importance !!!!



  • a oui exact j'ai oublié le -x...donc f'(x)= (-b/x²)-1 x>1
    ce qui nous fait lim (-b/x²)-1=-b-1
    cette fois je pense que c'est bon. maintenant il faut que j'utilise la condition de continuité en 1...qui nous dit que f est coninue en 1 ssi lim f(x)=f(1) quand x tend vers 1. ba je l'ai bien montré puisque f(1) = a+1 = lim f(x)



  • On récapitule

    1°) f doit être continue donc on doit avoir

    limx1,x,inf,1f(x)=f(1)\lim _{x \rightarrow 1 , x , inf , 1}f(x) = f(1)

    ceci va donner une première équation

    2°) si x < 1 f '(x) = 2ax + 6

    si x > 1 f '(x) = -b/x^2 - 1

    on doit donc avoir

    $\lim _{x \rightarrow 1 , x < 1} (2ax + 6) = \lim _{x \rightarrow 1 , x >1}(\frac{-b }{x^2} - 1)$

    ce qui va donner une deuxième équation

    et avec ces 2 équations tu dois pouvoir trouver les 2 inconnues a et b



  • Donc si tout va bien et que je me suis pas trompé pour une fois a=-1 et b=-5



  • tu peux vérifier toi même :
    en mettant ces valeurs trouves tu la même valeur pour f(1) dans les 2 expressions de f(x)
    et même vérification pour les valeurs de f '(1) dans leur 2 expressions ?



  • la vérification est déja faite et c'est bon sinon je n'aurais pas mis ces réponses.


 

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