dm : point fixe



  • J'ai un exercice à faire en dm et je ne vois pas du tout comment faire

    On dit qu'un nombre x est un point fixe (ou point invariant) pour une fonction f lorsque f(x)=x.

    f est une fonction affine x→ax+b

    1. Comment faut-il choisir a et b pour que:
      a) il n'y ait pas de point invariant?
      b)il y ait un seul point invariant?
      c)il y ait une infinité de points invariants?

    2. Graphiquement
      a) Comment peut-on trouver les points invariants?
      b) Retrouver les résultats de la question 1.

    merci pour votre aide


  • Modérateurs

    Salut,
    Il faut que tu résolves ax+b=x
    x est l'inconnue, tu vas pouvoir le trouver en fontion de a et de b pour a≠1.
    Ca c'est pour le cas où il y a un seul point invariant.
    Et pour a=1, tu reprends l'équation de départ, cela va te donner les 2 autres possibilités.

    Graphiquement : cela se ramène à étudier les points d'intersections de 2 droites. Je te laisse trouver lesquelles.

    Et si tu trouves vraiment pas, reviens demander !



  • merci
    donc pour un seul point fixe ça ferait:
    x-ax=b
    -x(a-1)=b
    -x=b/(a-1)
    x=-b/(a-1)

    mais la je ne vois pas comment est-ce qu'il faut que je choisisse a et b



  • Il faut que tu apprennes la rigueur dans la rédaction

    Il y a un point fixe ⇔ x = ax + b ⇔ x-ax=b ⇔ -x(a-1)=b ⇔ si a ≠ 1 ; x=-b/(a-1)

    Donc si a ≠ 1 tu peux trouver pour chaque b un point fixe et un seul défini par x=-b/(a-1) (c'est ce que Thierry écrivait + tôt !)

    Maintenant il faut étudier le cas où a = 1 (comme Thierry le disait)

    Il y a un point fixe ⇔ x = x + b ⇔ ????



  • donc après est-ce que c'est:
    Si a=1, il existe un seul point fixe défini par b=0

    seulement ce que je comprends pas, c'est que ma question c'est comment choisir a et b et avec ces deux équations je ne vois pas comment ça m'aide à choisir a et b


  • Modérateurs

    Si a=1, l'équation de départ admet

    • soit une infiité de solutions si b=0
    • soit 0 solution sinon

    Donc comment choisir a et b, il faut faire un résumé de toutes les situations :
    a=1 ou a≠1 et b=0 ou b≠0

    Tu as tous les éléments en main, à toi de les mettre en forme.



  • merci je comprend mieux
    mais finalement si la droite d'équation y=ax+b n'est pas parallèle a la droite d'équation y=x et si elle n'est pas égale à cette droite, alors il existe un point fixe puisque les droites vont se croiser en un point
    donc si je comprends bien: si a≠1 alors il existe un seul point fixe pour b∈R?



  • Tout est question de lecture et de compréhension sujet verbe complément !

    "Si a≠1, on a b" n'est pas "Si a≠1, on a x"

    scarlett
    alors à quoi me sert d'avoir si a≠1, on a b tel que x=-b/(a-1)

    la vraie phrase que j'ai écrite c'est

    Zorro
    Si a ≠ 1 on peut trouver, pour chaque b, un point fixe et un seul défini par x=-b/(a-1)

    Comprends tu la nuance ?



  • je comprends la nuance mais par contre je comprends pas trop cette phrase:

    "Si a ≠ 1 on peut trouver, pour chaque b, un point fixe et un seul défini par x=-b/(a-1)"

    est-ce que cette phrase est juste?
    si a≠1 alors il existe un seul point fixe pour b∈R

    parce-qu'il faut quand même que pour ma rédaction je mette une sorte de règle pour trouver le résultat



  • je crois que j'ai compris maintenant par contre pour a=0 et b=x on a bien une infinité de points mais on ne l'a pas donné par les calculs comment on peut le prouver?


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