Sinus et dérivabilité...



  • Bonsoir,

    J'ai besoin d'aide pour une question...
    Soit f(x)=(sin(x))/x
    On me dit que f(0)=1.
    Je démontre que
    0≤x-sin(x)≤(x3(x^3)/6 (On appele A)
    Et on me demande:"Prouver que f est dérivable au point 0 et calculer f'(0)."
    Je pense que cette question doit avoir une relation avec (A) sinon ils m'auraient pas fatigué à prouver ça^^...Mais je ne vois pas le rapport...
    Quand je reviens à la définition donc (f(x)-f(a))/(x-a) avec a=0 et calculer la limite quand x tend vers 0 j'obtiens:
    (sin(x)-x)/(x²).
    Mais quand x tend vers 0 ça tend vers +∞ or apparament je dois trouver une limite finie...

    Sinon est il possible d'utiliser (A) en utilisant le théorème des gendarmes (de manière à dire puisque que x-sin(x) à une limite...Je crois que le théorème des gendermes ne dit pas ça...).

    Enfin voilà je suis dans le flou de l'aide serait le bienvenue!
    Merci d'avance


  • Modérateurs

    Salut Ferdi,
    (sin(x)-x)/(x²). ça tend vers +∞ en 0 ça???
    Attention c'est de la forme "0/0".
    Ne peux-tu pas encadrer (sin(x)-x)/(x²) grâce à A par deux fonctions qui tendent vers 0 quand x tend vers 0, tu pourras alors utiliser le théorème des gendarmes.



  • Oo,il me semble que je peux...
    0≤x-sin(x)≤(x³)/6
    A ⇔ 0≥-(x-sin(x))/(x²)≥-((x³)/(6x²))
    A ⇔ 0≥(sin(x)-x)/(x²)≥-x/6

    Or bizarrement lim0 quand x tend vers 0 est 0
    et lim de -x/6 quand x tend vers 0 est 0.
    Donc d'après le théorème des gendarmes (sin(x)-x)/((x²) (soit B) tend vers 0.
    Donc B a une limite finie quand x tend vers 0 qui est 0.
    Donc (sin(x))/x est dérivable en 0 et f'(0)=0.
    Voilà^^merci beaucoup;hier je devais être un peu fatigué(faut bien que je me trouve une excuse...)
    Si vous trouvez une faute n'hésitez pas à me le dire,sinon venez me dire que je suis trop fort^^.
    ++


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