Arithmétique carrés des entiers



  • Le calcul des carrés des entiers dont le chiffre des unités est 5 se prête bien au calcul rapide.

    En effet, on remarque déjà que
    5² = 25
    15² = 225
    25² = 625
    35² = 1225
    45² = 2025
    etc.

    La règle sort assez facilement, n'est-ce pas - et se démontre sans trop de difficulté au collège.

    Par contre, on peut chercher à étendre ce genre de procédé de calcul : pour quels entiers m et n le produit m×n se calcule t-il de la même manière que précédemment ?


  • Modérateurs

    m=10d+u
    n=10d'+u'
    (10d+u)(10d'+u')=100dd'+10(du'+d'u)+uu'

    Si d,d',u,u' sont tous inférieurs ou égaux à 2, tu peux obtenir ainsi le chiffre des centaines (dd'), des dizaines (du'+d'u) et des unités (uu'). Cela ne concerne que les nombres 1 2 10 11 12 20 21 22 plus peut-être quelques autres ... (on pourrait affiner cette règle : si la somme du'+d'u vaut moins de 10).

    Lol ... et si du'+d'u=10, cela ferait
    m×n=100(dd'+1)+uu'

    Cela ferait une autre série de couples ... qu'il faudrait pouvoir identifier facilement ... comme 51×51, 23×22 hum ...

    Tu as trouvé des choses plus flagrantes ?



  • Je pensais plutôt à de produits comme 53×57 : même nombre de dizaines et chiffres des unités de somme 10. Pour de tels produits, le procédé de calcul est le même que pour 35×35.

    On peut en donner une jolie illustration géométrique dans les deux cas. Sauras-tu la trouver ?

    C'est un "truc" qui permet d'impressionner une classe de petits (et de moins petits).


  • Modérateurs

    Ah mais c'est fou ça !

    Dis-le si tu as d'autres trucs ... comme le théorème d'Aubry par exemple 😉



  • Bon : on a 34×36 = 1224, ie. 3×(3+1) dizaines + 4×6.

    "Preuve" géométrique :

    Etape 1: un rectangle de côtés 34 et 36

    http://img503.imageshack.us/img503/9877/capture01fe0.jpg

    Etape 2: on découpe une bande sur une dimension

    http://img125.imageshack.us/img125/6936/capture02yu6.jpg

    Etape 3: on la déplace sur l'autre

    http://img118.imageshack.us/img118/5696/capture03it9.jpg

    Etape 4: on a bien 30×40 + 4×6

    http://img70.imageshack.us/img70/4144/capture04gs3.jpg


  • Modérateurs

    Sympa le découpage !
    Démontrer une propriété algébrique par la géométrie ... voilà une aventure intéressante.



  • Bonjour,

    Ce sujet m'interesse beaucoup, je vais vous donner mes techniques de calculs que j'ai appelé "ma méthode" car je n'ai rien trouver sur internet et dans des livres faisant allusion à cette méthode mais si j'ai tort merci de me faire parvenir le nom que je m'empresserai de mettre dans le titre de ce sujet! 😕

    Déjà je voulais arriver à transformer le produit en somme ou en différence, j'ai d'abord penser au logarithme mais bon les tables sont beaucoup trop compliquées, alors un jour par hasard je suis tombé sur quelque chose que tout le monde connait depuis la classe de Troisième... Si Si

    (a+b)(a-b) = a²-b² 😁

    On remarque bien que il y a une transformation du produit en différence de carrés, déjà un premier problème se pose il faut que a et b soient de mêmes parités

    Bon c'est sur que tout le monde ne connait pas tout les carrés ( j'ajoute en passant que je considère cette méthode comme s'arrétant à des multiplications à deux chiffres à part lorsqu'on obtiendra des carrés faciles à calculer comme ceux de dont le chiffre des unités est 5, évoqué par Zauctore! 😉

    première exemple :

    34 x 26 = ( 30 + 4 ) ( 30 - 4) = 30² - 4² = 900 - 16 = 884

    trop facile non? Mais c'est vrai qu'on a eu de la chance de tomber sur des carrés aussi facilement calculable...

    par exemple si on avait eu
    37 x 31 = ( 34 + 3 ) ( 34 - 3) = 34² - 3² = 34² -9

    comment calculer 34²! c'est là où est la difficulté...

    Enfait non, pas tellement quand on sait que i=1n(2i1)\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n²

    Autrement dit 1 + 3 + 5 ... + (2n -1) = n²

    Si vous me croyez pas faites une reccurence :razz:

    Vérifions quand même pour les premiers termes :

    1 = 1²
    1 + 3 = 4 = 2²
    1 + 3 + 5 = 9 = 3²
    ...

    Autrement dit revenons à notre 34² qui était quand même le but de tout ça,
    dejà il faut se ramener à un carré que l'on connait bien et le plus proche possible, ici se serait 35

    On a donc 35² = 1225

    Maintenant il faut savoir quel nombre impair faut il enlever à 1225 pour obtenir 34².
    D'aprés
    i=1n(2i1)\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n²

    i=135(2i1)\displaystyle \sum_{i=1}^{35} (2i - 1) = 35²

    donc on remplacer i par 35, et on obtient 69, il faut donc enlever 69 à 1225 pour obtenir 34²
    donc 1225 - 69 = 1156 = 34²

    Revenons à 37 x 31 = ( 34 + 3 ) ( 34 - 3) = 34² - 3² = 34² -9 = 1156 - 9 = 1147

    37 x 31 = 1147

    Voilà la méthode peut paraitre un peu longue mais si vous êtes pas trop mauvais en calcul mental ça va trés trés vite et vous pouvez en suprendre plus d'un sur des 17 x 23 = ( 20 + 3)(20 - 3) = 20² - 3² = 400 - 9 = 391 :razz:

    Cependant, il est préferable car a et b ne soit pas trop "eloigné" car si on essaye de calculer 81 x 23 = ( 52 + 29 ) ( 52 - 29 ) = 52² - 29² = 2704 - 841 = 1863

    Ceci va me permettre d'aborder un dernier point, comment calculer les carrés entre 40 et 60?
    Déjà on en connait 5 :
    40² = 1600
    45² = 2025
    50² = 2500
    55² = 3025
    60² = 3600

    mais c'est les autres dont je vous parle, pour celà vous aurez besoin de connaitre l'addition et la multiplication! ("Il se fout de ma guelle celui là 😡 " ) - non non pas du tout laissez moi vous montrer

    40² = 1600
    41² = 1681
    42² = 1764
    43² = 1849
    44² = 1936
    45² = 2025
    46² = 2116
    47² = 2209
    48² = 2304
    49² = 2401
    50² = 2500

    on voit trés bien quelque chose apparaitre :

    regardons d'abord les deux premiers chiffres on a 16, 16, 17, 18, 19, ... , 24, 25

    On ajoute donc 1 à chaque fois sauf pour le premier non, donc ma règle serait fausse car pas vraie pour tous, mais non pas du tout vous allez comprendre pourquoi?

    Interessons nous maintenant aux deux derniers chiffres on a
    00, 81, 64, ... , 16, 09, 04, 01 ! ça vous rappele rien?
    0², 9², 8², ... , 4², 3², 2²,1²,0²

    Il ya donc en fait 2 fois 0²

    en fait non le premier est 10² = 100 ce qui expliquerait qu'on obtienne 16 puis 16 pour les deux premiers chiffres! 😄

    Regardons à quoi celà sert pour ma méthode :

    Calculons ensemble : 52 x 42
    52 x 42 = (47 + 5)(47 - 5) = 47² - 5² = 47² -25

    Il nous reste à calculer 47²
    50 - 47 = 3
    Les deux premiers chiffres de 50² sont 25 donc les deux premiers chiffres de 47² sont 25 - 3 = 22
    les deux derniers chiffres de 47² sont 3² = 09

    donc 47² = 2209

    d'où 52 x 42 = 2209 - 25 = 2184 😉

    simpas non?

    Bon maintenant, il faut quand même donner des explications car bon rien n'est juste en mathématiques sans être demontrer, je ne vais pas vous assomer de formules ( même si il n'y en a pas beaucoup mais tout tiens dans cette formule :
    i=1n(2i1)\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n²

    Voilà, vous allez surement me dire que j'ai fais la moitié du travail car j'avais dit les carrés entre 40 et 60, nous avons dejà vu entre 40 et 50 passons entre 50 et 60

    50² = 2500
    51² = 2601
    52² = 2704
    53² = 2809
    54² = 2916
    55² = 3025
    56² = 3136
    57² = 3249
    58² = 3364
    59² = 3481
    60² = 3600

    là aussi c'est immediat une loi apparait :
    les deux premiers chiffres sont 25, 26, 27, ... , 34, 36
    c'est exactement pareil que dans le cas precedent et je vous laisse deviner pour quoi on obtient pas 35...

    Pour ceux qui ne l'aurai pas remarquer, les deux derniers chiffres sont dans l'ordre 00, 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64, 91, 00 qui correspondent à 0², 01², 02², 03², 04², 05², 06², 07², 08², 09², 10²

    Application ( toujours en relation avec ma méthode ) :

    Calculons ensemble : 66 x 48
    66 x 48 = (57 + 9)(57 - 9) = 57² - 9² = 57² - 81

    Il faut donc arriver à calculer 57²
    47 = 50 + 7

    Les deux premiers chiffres de 50² sont 27 donc les deux premiers chiffres de 57² sont 25 + 7 = 32 les deux derniers chiffres de 57² sont 7² c'est à dire 49
    soit 57² = 3249

    d'où 66 x 48 = 57² - 81 = 3249 - 81 = 3168 😉

    Voilà, en esperant que ceci vous servira 😆

    T ! T O R


  • Modérateurs

    Un raisonnement élaboré !

    Pour 34² je fais (30+4)²=30²+2×30×4+4² ou bien 34×30+34×4. Ca marche bien pour tous les nombres à 2 chiffres.


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