barycentre dans un triangle (proportionalité avec aires de carrés adjacents)



  • Bonjour,
    Voici le sujet d'un DM de maths sur lequel je sèche (j'ai des idées mais ça aboutit à quelque chose d'incohérent).

    Voici le sujet :
    3 propriétaires P1, P2 et P3 possèdent 3 champs carrés disposés autour d'un lac en forme de triangle A, B, C (un champ carré de coté AB, un champ carré de coté AC et champ carré de coté BC). Le lac triangulaire est rectangle en A.
    Les propriétaires souhaitent se partager le lac proportionnellement aux aires de leurs champs. Donner les coordonnées du point M situé dans le lac tel qu'il divise le lac en trois triangles dont les surfaces sont proportionnelles aux aires des champs.

    Voici comment je commence :
    soit a = l'aire du triangle AMB
    b = aire de AMC
    c= aire de BMC
    x= AB
    y=AC
    et z=BC
    Puisque ABC est rectangle en A, x2+y2=z2
    a+b+c=(xy)/2
    Les triangles étant proportionnels aux carrés :
    a=kx2
    b=ky2
    c=kz2=k(x2+y2)

    Je suppose que M est le barycentre du triangle ABC
    Je pense (mais pas sur) que les poids à affecter aux points AB et C sont respectivement a, b et c (les aires des triangles)
    Mais si je prends mon repère en A (A de coordonnées 0,0), j'obtiens : xM = (2b/xy)xB (pourquoi pas)
    mais yM = (1/2) yC

    Et là je pense que c'est à coté de la plaque ...

    Une idée ? Merci d'avance !



  • Bonjour et bienvenue,

    Je vais commencer par une remarque mais tu verras que cela te servira !

    Quand tu écris
    Citation
    x2+y2=z2je suppose que tu veux écrire

    x² + y² = z²

    Pour arriver à ce résultat tu peux utiliser les "boutons" qui sont sous le cadre de saisie ils permettent d'écrire ² ou ³

    Pour des puissances supérieures tu as le "bouton" "Exposant" qui fait apparaître les "balises" <sup></sup> sans * (mises ici pour que tu comprennes) et mettre l'exposant en tre les balises

    donc pour écire x5x^5 il faudra x<sup>5</sup> (toujours sans les *)

    Idem pour les indices ... il y a les balises <sub></sub> donc pour écrire yMy_M on utilsera y<sub>M</sub> (sans les *)

    Merci donc de rendre ton énoncé plus lisible en cliquant sur le "bouton" 'Modifier/Supprimer" qui est sous ton message.



  • Bon ta figure devrait ressembler à ceci

    http://img271.imageshack.us/img271/924/lacchampslt3.jpg

    Mais comme toi pour trouver les coordonnées de M je prendrais pour repère (A;vectAB,vect AC)



  • Bonjour,

    Pour la figure, c'est exactement ça !
    Par contre, après réflexion, je me demande si le but du problème n'est pas uniquement de démontrer que le point M est le barycentre du triangle (car l'énoncé exact du problème est "donner la position du point M").
    Qu'en pensez-vous ?
    Comment démontrer dans ce cas que le point M est le barycentre du triangle ABC, et avec quels poids associés ?

    Merci de votre aide ...


  • Modérateurs

    Salut,
    Citation
    Donner les coordonnées du point M situé dans le lac tel qu'il divise le lac en trois triangles dont les surfaces sont proportionnelles aux aires des champs.
    Une phrase de l'énoncé qui contredit ce que tu viens de dire. Il s'agit de donner les coordonnées du point M. Zorro, sur son schéma t'a suggéré un repère. C'est effectivement celui-ci qui sera le plus simple à utiliser.


  • Modérateurs

    Je te propose de ne plus appeler x, y, z les longueurs AB AC AD car cela va prêter à confusion avec les coordonnées de M.

    La première chose à faire est d'exprimer les aires de 3 petits triangles (base×hauteur/2) en fonction des coordonnées de M (x et y).
    Ensuite les proportionnalités te permettront d'obtenir 3 équations avec 3 inconnues (x, y et k).

    Essaye dans cette direction.



  • Salut Thierry,

    Hier soir, j'avais donné l'énoncé de tête (à force de sécher dessus, je le connais par coeur). Mais l'énoncé exact est bien "donner la position du point M".
    Intuitivement, j'avais déduit que M est le barycentre mais je ne sais pas s'il faut le démontrer.
    En partant du repère de Zorro, je trouve les coordonnées suivantes :
    xMx_M = (2b/xy)xC(2b/xy)x_C (où b = aire de AMC, x est le coté du carré ACHI et y le coté du carré ABFG)
    et
    yMy_M = (1/2)yB(1/2)y_B

    C'est ce yMy_M qui me choque : pourquoi serait-il situé au milieu du segment AB ?

    Ais-je le droit de partir du fait que M est le barycentre du triangle ABC et ais-je le droit d'affecter les aires des petits triangles AMB, AMC et BMC comme pondérations des points A, B et C ?



  • oups, nos messages se sont croisés. Je cherche dans la direction donnée par Thierry à 15h10 ...



  • Bon, j'ai trouvé quelque chose mais je ne suis pas sur :

    Aire de AMC = (ACy)/2
    Aire de AMB = (AB
    x)/2

    Les aires des triangles sont proportionnelles aux aires des carrés =>
    (ACy)/2 = kAC²
    et
    (ABx)/2 = kAB²

    Selon Pythagore : BC² = AC² + AB²
    L'aire du triangle ABC est égale à la somme des aires des petits triangles :
    2k(AB²+AC²) = (AC+AB)/2
    J'en déduis que k = (AB*AC)/4(AB²+AC²)

    et donc :
    x= (AB²AC)/2(AB²+AC²)
    et
    y=(AB
    AC²)/2(AB²+AC²)

    Est-ce que ça vous semble correct comme raisonnement et résultat ?
    Merci de votre réponse ...


  • Modérateurs

    Citation
    (ACy)/2 = kAC²
    et
    (ABx)/2 = kAB²OK mais simplifie par AC pour la première, et AB pour la seconde.

    Citation
    Selon Pythagore : BC² = AC² + AB²
    L'aire du triangle ABC est égale à la somme des aires des petits triangles :
    2k(AB²+AC²) = (AC+AB)/2
    J'en déduis que k = (AB*AC)/4(AB²+AC²)Non tu n'y as mis que 2 triangles (si j'ai bien compris entre tes fautes de frappes ...).



  • Bonjour,

    OK pour la 1ère remarque par contre, il ne me semble pas avoir oublié de triangle :
    le premier : kAB², le deuxième : kAC² et le troisième : kBC² = k(AB²+AC²), d'où 2k(AB²+AC²) ... non ?


  • Modérateurs

    OK ! Ca a l'air de tenir la route. Il faut quand même avouer que le résultat n'est pas très ragoutant ... Tu peux déjà remplacer AB²+AC² par BC².

    Pour être fixé, ce que je ferais, je vérifierais avec un triangle rectangle (de dimensions 3 - 4 - 5). Tu calcules k, x, y et tu vérifies que les aires des petits triangles sont bien égales à k fois les aires des carrés.

    Si ça marche, si tes formules se vérifient, on pourra dire que c'est gagné, sinon ... chercher l'erreur.



  • Change de notation pour simplifier la résolution du problème.

    Appelle a,b,c les longueurs des côtés du triangle rectangle (où c est l'hypoténuse).
    Appelle hah_a la hauteur du triangle dont la base mesure a,
    hbh_b la hauteur du triangle dont la base mesure b,
    et hch_c la hauteur du triangle dont la base mesure c.

    Le problème peut donc s'exprimer sous forme algébrique de la manière suivante:

    1/ La somme des aires des 3 "petits" triangles est égale à l'aire du triangle rectangle de départ (le lac) :
    0,5×a×hah_a
    +0,5×b×hbh_b
    +0,5×c×hch_c

    0,5×a×b

    2/ L'aire de chaque champ est proportionnelle à l'aire du morceau de lac de chacun:
    0,5×a×hah_a = k × a²
    et
    0,5×b×hbh_b = k × b²
    et
    0,5×c×hch_c = k × c²

    A partir de ce système d'équations, il est assez simple algébriquement de trouver hah_a et hbh_b.

    Le point M peut alors se définir par le vecteur AM = hah_a × AB + hbh_b × AC

    où A,B,C sont les sommets du triangle de l'énoncé.


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