Cercle des 9 points d'un triangle

Bonjour, voila je suis nouveau et j'ai un DM à rendre pour demain (comment ça je m'y prends à la dernière minute ? ^^).

mon prof de maths n'explique RIEN (pauvre petit ! (N.d.Z.)) et c'est pour cela qu'en début d'année de 2nde je suis complètement largué (pourtant 16 de moyenne de 3eme), bref le DM porte sur : cercle des 9 pts.

Bon je vais faire court, pour le cercle des 9 pts, j'ai rien réussi (à part la 2eme question ou j'ai recherché pendant 3 h sur internet), je vous rappelle le sujet :

Soit un triangle quelconque ABC et soient A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].

1. Tracer la hauteur issue de A, notée [AH].

2. Quelle est la nature du quadrilatère A’HB’C’ ?

3. Tracer le cercle (C) circonscrit au triangle A’B’C’.

4. Montrer que les points A’, H, B’, C’ sont sur le cercle (C).

5. Tracer les deux autres hauteurs [BI] et [CJ] du triangle ABC.
Démontrer que I et J sont sur le cercle (C).

6. Présenter les résultats précédents sous forme de théorème.

7. Soit D l’orthocentre du triangle ABC.
Quelles sont les hauteurs du triangle BCD ?
Que remarque-t-on ?
Que peut-on dire du milieu de [BD] ?

8. Soient les triangles BAD et ADC.
Que peut-on dire des milieux de [AD] et de [CD] ?

9. Justifier le titre « cercle des 9 points d’un triangle ».
Ce cercle est aussi appelé cercle d’Euler .

J'aurai donc énormément besoin de votre aide pour passer la question 2...

...

Je vous remercie d'avance pour votre aide mais je préfère le dire tout de suite si vous essayer de me faire raisonner , pour l'instant, par moi même cela n'arrangera rien puisque pour le moment je n'ai rien compris ( et vu ?) de tout sa...

On a bien compris que tu n'avais pas l'intention d'en faire lourd... Je précise quand même que l'essentiel des connaissances pour traiter ce problème est vu généralement en classe de 3e (N.d.Z.)

Salut,
Tu peux déjà regarder ces liens :

http://www.math...et-3975.html et

http://www.math...et-4082.html.

C'est un sujet qui peut être traité avec les seules connaissances du collège.

Cercle des neuf points
Soit un triangle quelconque ABC et soient A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].

1. Tracer la hauteur issue de A, notée [AH].

2. Quelle est la nature du quadrilatère A’HB’C’ ?

3. Tracer le cercle (C) circonscrit au triangle A’B’C’.

4. Montrer que les points A’, H, B’, C’ sont sur le cercle (C).

5. Tracer les deux autres hauteurs [BI] et [CJ] du triangle ABC.
Démontrer que I et J sont sur le cercle (C).

6. Présenter les résultats précédents sous forme de théorème.

7. Soit D l’orthocentre du triangle ABC.
Quelles sont les hauteurs du triangle BCD ?
Que remarque-t-on ?
Que peut-on dire du milieu de [BD] ?

8. Soient les triangles BAD et ADC.
Que peut-on dire des milieux de [AD] et de [CD] ?

9. Justifier le titre « cercle des 9 points d’un triangle ».
Ce cercle est aussi appelé cercle d’Euler .

Pour être tranquille, je vais en donner une solution détaillée, une bonne fois pour toutes.

Question 1.

Question 2.
Le quadrilatère A'B'C'H semble être un "trapèze isocèle".

Précisément, on va commencer par justifier que le parallélisme des bases (HA') et (B'C'). Puisque B' et C' sont les milieux de deux côtés de ABC, alors (B'C') est parallèle au 3e côté BC ; or (BC) = (HA') : donc (HA') // (B'C'). Ceci fait du quadrilatère un trapèze.

Dans un second temps, on montre les égalités des obliques HC' et A'B'. D'abord, avec l'un des théorèmes des milieux, on a A'B' = 1/2 AB. Ensuite, le triangle ABH étant rectangle en H et C' étant le milieu de [AB], on sait que l'on a C'H = 1/2 AB : la médiane issue de l'angle droit vaut la moitoé de l'hypoténuse. Ainsi, on voit que HC' = A'B'. Ceci fait du quadrilatère un trapèze isocèle.

On peut maintenant montrer aussi que les angles en B' et en C' sont égaux (ce n'est pas tout-à-fait une trivialité, contrairement au cas des triangles isocèles).
On voit facilement avec le parallélogramme A'B'C'B que $A′B′C′^=A′BC′^\widehat{A'B'C'}= \widehat{A'BC'}$ .
D'autre part, HC'A est isocèle en C' et on voit facilement que (B'C') est la hauteur issue de C', donc aussi la bissectrice de $HC′A^\widehat{HC'A}$ .
Donc $HC′B′^=AC′B′^=A′BC′^\widehat{HC'B'}= \widehat{AC'B'}=\widehat{A'BC'}$ , cette dernière égalité grâce aux angles correspondants.

Ainsi, le quadrilatère A'B'C'H est un trapèze dont les bases parallèles sont (A'H) et (B'C'), dont les côtés obliques sont égaux A'B' = C'H, et dont les angles sur la plus grande base sont égaux $B′^=C′^\widehat{B'} = \widehat{C'}$ .

Question 3.

Question 4.
Il suffit de montrer que H est sur le cercle qui passe par A', B' et C'.

La suite au prochain épisode !

Bien, voici venue la suite... pas si évidente que ça - si l'on veut tout justifier - elle nécessite une figure extraite pour y voir clair.

On considère le milieu M de [B'C'] ainsi que la médiatrice de ce segment. J'ai aussi noté O le centre du cercle passant par A', B' et C'. Bien entendu, O est sur ladite médiatrice. Puisque les angles en B' et en C' sont égaux, le triangle B'C'Z, obtenu en prolongeant [B'A') et [C'H) jusqu'à leur intersection, est isocèle : le point d'intersection Z est donc sur (OM). Avec le parallélisme des bases et les d'angles correspondants, on voit vite que
$ZHA′^=ZA′H^\widehat{ZHA'} = \widehat{ZA'H}$
c'est donc un triangle isocèle à son tour, ce qui montre que (ZM) est médiatrice de [A'H]. En définitive, on a donc montré que (OM) est un axe de symétrie du quadrilatère A'B'C'H. Alors, O étant sur la médiatrice de [A'H], on en déduit que OA' = OH : le point H est donc sur le cercle de centre O passant par A.

Voilà : je ne suis sans doute pas allé au plus court dans cette question !

En fait c'est une propriété tout-à-fait générale qui a été démontrée (un peu laborieusement) ci-dessus : dès qu'un trapèze a

ses obliques égales
ou ses angles relatifs à une base égaux

alors ses quatre sommets sont sur un même cercle.

Question 5.

De la même manière qu'à la question 2, on montrerait que les quadrilatères B'A'C'I et C'B'A'J sont des trapèzes isocèles ; on en déduit que I et J sont sur le cercle passant par A', B' et C', comme H (cf question 4).

Question 6.
Il suffit de faire le bilan des questions précédentes : pour tout triangle, les trois milieux des côtés et les trois pieds des hauteurs sont sur un même cercle.

Voca, note: ce sont six points cocycliques, ce qui est assez remarquable, quand on songe qu'en général quatre points ne sont pas cocycliques, alors que trois (non-alignés) le sont toujours... Mais ce n'est pas tout, comme on le verra aux questions 7 et 8.

Question 7.

D est donc l'orthocentre de ABC. On voit que (DH) est une hauteur de BDC : elle passe par le sommet D en étant perpendiculaire au côté opposé (BD). De même, (CA) est la hauteur issue de C dans BDC et (BA) est celle issue de B (détails laissés au lecteur...).

Appelons Q le milieu de [BD] ; appliquons à BDC le théorème énoncé précédemment : les milieux des côtés et les pieds des hauteurs de BDC sont sur un même cercle. Puisque H, I et J sont lesdits pieds de ces hauteurs, on voit donc que Q est nécessairement sur le cercle qui les joint. Puisque le cercle de H, I et J passe aussi par A', B' et C', ceci fait du point D un septième point du cercle déjà considéré dans les questions précédentes.

Mais il y a mieux : question suivante.

Question 8.

Le même raisonnement peut être appliqué aux triangles ABD et ACD : on en trouve les hauteurs et on leur applique le théorème de la question 6, pour en déduire d'une part que le milieu P de [AD] et d'autre part le milieu R de [CD] sont eux-aussi sur le cercle passant par I, J et K.

Ce qui fait un total de 9 points "remarquables" situés sur ce fameux cercle...

Bon... après ces premiers résultats, il y en a quelques-autres qui ne figuraient pas dans cet énoncé.

Premier complément
Tracer le cercle circonscrit de centre O. Déterminer le centre du cercle des 9 points.

Deuxième complément
Que représentent A' et P vis-à-vis du cercle des 9 points ?

Troisième complément
Comparer les rayons du cercle des 9 points et celui du cercle circonscrit.

Premier complément : le centre du cercle des 9 points.

On a tracé en
bleule cercle circonscrit au triangle initial ABC ; O en est le centre, à l'intersection des médiatrices (dont les segments [OA'] et [OB'] sont des portions) des côtés de ABC.

On s'intéresse au centre E du cercle des 9 points (représenté en
vert. Puisque A' et H sont deux points de ce cercle, il est clair que E est sur la médiatrice de [A'H]. De même d'ailleurs, il sera sur les médiatrices de [C'J] et de [B'I].

Mais puisque la médiatrice de [A'H], ici en
orange, est parallèle à (DH) et à (OA'), elle coupe donc le segment [OD] en son milieu (théorème des milieux dans le trapèze).

Propriété: Le centre du cercle des 9 points est au milieu de l'orthocentre et du centre du cercle circonscrit.

Joli, mais ce n'est pas tout : attaquons-nous à la deuxième propriété complémentaire.

Deuxième complément

On sait que A, P et H sont alignés sur la hauteur de ABC relative à [BC].

Or, A' est sur [BC] ; donc l'angle $PHA′^\widehat{PHA'}$ est droit.

Puisque P, H et A' sont sur le cercle des neuf points, cela montre que [PA'] est un diamètre de celui-ci.

En particulier évidemment, le centre E du cercle des neuf points est situé au milieu de A' et P. De même bien sûr pour B et Q, ainsi que pour C et R.

Troisième complément : le rayon du cercle des neuf points

Le quadrilatère OAPA' est manifestement un parallélogramme... encore que ça reste à prouver "comme il faut".

Mais alors, les côtés OA et A'P sont de même longueur, et d'après la propriété précédente, on a 2 EA' = OA.

Théorème : le rayon du cercle des neuf points d'un triangle est la moitié de celui du cercle circonscrit.