Congruences et divisibilité par 19.


  • Modérateurs

    Salut,
    Je rame encore parfois sur les exercices de spé. J'aurais besoin d'un coup de pouce pour celui-ci car je bloque sur les dernières questions.

    On considère les nombres N=10D+u et N'=D+2u
    où D est le nombre de dizaines et u le chiffre des unités.

    1. Montrer que les solutions de l'équation 10x≡0[19] sont les entiers x tels que x≡0[19]
      Je l'ai montré à l'aide du théorème de Gauss.
    2. Montrer que 19|N ⇔ 19|N'
      J'y suis arrivé à l'aide de quelques opérations sur les congruences.

    A partir de là, je n'ai pas trouvé de méthode.
    3)On considère à présent que N n'est pas divisible par 19.
    3.a)N et N' peuvent-ils être congrus modulo 19 ?
    A priori je dirais que non mais alors pourquoi ?
    3.b) r et r' sont les restes respectifs des divisions de N et N' par 19.
    Déterminer une relation entre r et r'.



  • pour la 3a je dirais que oui, car si tu prend par exemple 18
    18≡1(19)

    pour moi tous les nombres entiers sont modulo 19
    apres je suis aussi qu'en terminaleS donc :s
    sinon pour le 3b je pense qu'il faut repartir de N=10D+u et N'=D+2u
    et faire que pour les chifre du style 18k le reste est 1
    pour les chiffres du type 18k+1 le reste est 0 ....



  • pour 2, avec un oeil sur la question 1 et si l'énoncé est bien
    N = 10D + u, N' = D + 2u,alors on a l'égalité
    10N'= 10D + 20u =
    N + 19u
    ce qui donne l'équivalence, c'est ça ?

    pour 3, si l'on suppose N = N' [19], alors vu qu'on a 10N' = N [19] avec la même idée que ci-dessus, il me semble qu'on en déduit 9 = 0 [19].

    enfin, si N = 19q + r et N' = 19q' + r', etc. alors l'égalité
    10N' = N + 19u donne
    N' = 19(q + u) + r.

    dites-moi ce que vous en pensez (Thierry et Zorro).

    Coquille rectifiée !



  • euh desoler je vois pas trop
    mais pour le 2 je pense que c'est ca l'equivalence


  • Modérateurs

    Ok Zauctore, ça tient la route.

    1. 10N'≡N[19] et N≡N'[19] donc par transitivité 10N'≡N'[19] soit 9N'≡0[19] ce qui donne 19|9N' donc (Gauss) 19|N' ce qui contredit l'hypothèse de l'énoncé.

    2. N' = 19(q + u) + r donc r=r' !

    Merci. C'était faisable mais il faut être en forme 😁

    Attention stuntman : 18≡-1[19] !


  • Modérateurs

    Hum ... j'y ai repensé ... il y a un bug.
    Les résultats des 2 dernières questions sont contradictoires :
    N ne peut pas être congru à N' modulo 19 mais r=r' !



  • Argh ! y'avait une coquille qu'un relecteur sourcilleux aurait pu voir !

    c'est 10N' = N + 19u. Alors on y retourne :

    10(19q' + r') = 19q + r + 19u
    soit
    10r' + 19(10q' - q - u) = r

    Moralité : 10r' ≡ r [19].


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