Etudier les limites et le sens de variation d'une fonction exponentielle

Bonsoir j'ai fait tout l'exercice sauf une question la dernière ou la 4. de la partie II...merci de m'aider pour cette question...

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x-1 + (x²+2)e^-x
On note C la courbe représentative de f ds 1 repère orthonormal (O;i;j)
Pr tt l'ex on pourra admettre ou démontrer que lim x²e^-x = 0
X tend vers + inf
Partie I Etude fction auxiliaire
Soit g la fction définie sur R par g(x) = 1 - (x²-2x+2) e^-x
1.Etudier limites de g en + inf et - inf
2. Calculer sa dérivée et determiner son signe
3.En déduire le tbleau de variation de g
4. Démontrer que l'équation g(x) =0 admet 1 solution unique alpha ds R.
Donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de alpha
5. En déduire le signe de g

Partie II Etude de f

Etudier les limites de f en + et - inf
Déterminer f'(x) pr tt x réel
En déduire, à l'aide de la partie I, les variatiOns de f et donner son tableau de variation
Démontrer que f(alpha) = alpha (1+ 2e^-alpha)

Salut Mary ça faisait longtemps
Citation
4. Démontrer que $f(α)=α(1+2e−α)f(\alpha) = \alpha \left(1+ 2\text{e}^{-\alpha}\right)$

c'est celle-là ?

oui c'est celle-ci !

Bonsoir
donc si tu as tout trouver tu merite un tit coup de main
ta du trouver f'(x) = g(x) et g(alpha) = 0 = f'(alpha)
exprime f(alpha) avec la definition de ta fonction ( 1ere ligne de ton énoncée)
puis f'(alpha) = 0 = g(alpha) (remplace alpha avce la definition de la fonction g(x)
Rassemble ces deux équations et tu obtient f(alpha) = alpha(1+2e^-alpha)

toujours la si ta un probleme encore

Ok

alors ce que tu sais sur $α\alpha$ , c'est que $g(α)=0g(\alpha) = 0$

c'est-à-dire que $\left(\alpha^2-2\alpha+2\right) \text{e}^{-\alpha} = 0\qquad (1)$

or $f(α)=α−1+(α2+2)e−α(2)f(\alpha) = \alpha-1 + (\alpha^2+2)\text{e}^{-\alpha}\qquad (2)$

et on veut aboutir à $f(α)=α(1+2e−α)(3).f(\alpha) = \alpha\left(1 + 2\text{e}^{-\alpha}\right)\qquad(3).$

comme le dit begbi ci-dessus, il faut te servir de la relation (1) pour remplacer ce qui manque lorsque tu compares (2) et (3).

d'accord ms en remplaçant par alpha je n'arrive pas à arriver au résultat final...

non, ce n'est pas ce qu'il faut faire ! lis mieux les indications.

est-ce que je compares en faisant une soustraction ?

essaie ; ça ne coûte rien et c'est une idée intéressante.

f(alpha) - alpha + 1 = exp(-alpha)alpha^2 + 2exp(-alpha)
G(alpha) = 0 et tu remplace le deuxieme membre de la 2eme équation dans cette équation
:razz:

attends ! faut la laisser aller au bout de son idée, qui n'est pas mauvaise du tout

f(alpha) = 1- (alpha² - 2alpha + 2 ) e^-alpha
= 1 - alpha²e^-alpha + 2alphae^-alpha - 2e^-alpha
ms là je bloque ...

Ouuupss
2eme ligne du post erreur j ai voulu dire tu remplace dans l équation g(alpha ) = 0 le deuxieme membre de l équation de la premiere ligne de mon post
Désolé

[tu peux éditer avec le bouton "modifier/supprimer", N.d.Z]

fais la différence entre les deux expressions de $f(α)f(\alpha)$ , les (2) et (3).

alpha -1 + (alpha²+2) e^-alpha - alpha (1+ 2e^-alpha)
= -1 + alpha² e^-alpha + 2e^-alpha - 2alphae^-alpha

ms je trouve pas le résultat final! je fais comment ??

et je ne comprends pas vraiment la façon de begbi..

Citation
= -1 + alpha² e^-alpha + 2e^-alpha - 2alphae^-alpha

c'est-à-dire $\alpha^2 \text{e}^{-\alpha} + 2\text{e}^{-\alpha} - 2\alpha\text{e}^{-\alpha}$

ça ne te rappelle pas plus ou moins $g(α)g(\alpha)$ ?

si !!

Conclusion : (2) - (3) = 0 (en le disant vite), donc les deux expressions sont égales.

le pb est résolu.

Reste plus qu'à rédiger ça comme il faut maintenant.

et donc c'est terminé ?

up ^^

merci bcp !!! bonne soirée !

Je t'en prie !

et bravo ! c'est une excellente idée que tu as eue là, avec la différence (ce n'est pas moi qui ai parlé de soustraction le premier).

ms c'est grâce à votre aide ! merci, a bientôt !