Donner les premiers termes d'une suite et étudier ses variations

Bonjour!! J'ai un exercice sur lequel je bloque, pouvez vous l'éclairer sur le sujet? :rolling_eyes: voici l'énoncé...

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 1 + x² + x
$U_n$ ) est la suite définie pour tout entier naturel n par U $_{n+1}$ = f $U_n$ ) et $U_0$ = 2

a) Donner les 3 premiers termes de cette suite
b) Exprimer U $_{n+1}$ - $U_n$ en fonction de $U_n$
c) En déduire le sens de variation de la suite $U_n$ )

Voici ce que j'ai fait:

a) Pour tout entier naturel n:

$U_o$ =2
U $$_{n+1}$=1+(U_n $) ² +$ U_n$

$U_0$ =2

$U$ _1 $1+(U_0$ )² $U_o$
$U_1$ =1+2²+2
$U_1$ =7

$U$ _2 $1+(U_1$ )² $U_1$
$U_2$ =1+7²+7
$U_2$ =57

b)

f(x) = 1 + x² + x

U $_{n+1}$ = $f(U_n$ )

U $_{n+1}$ = $f(U_n$ )
= 1 + $U_n$ )² + $U_n$

U $${n+1}$-U_n$
=1 + $U_n$ )² + $U_n$ - $U_n$
=(U $em>{n+1}$ )+1

Mais à partir de là... je ne suis pas vraiment sure
J'aimerais déjà savoir si ce que je suis en train de faire est correct... Et si possible un petit éclaircissent pour la suite

Merci vraiment beaucoup! :razz:

Salut

Citation
U n+1-Un
=1 + (Un)² + Un - Un
=(U n+1)+1

tu oublies un carré à la dernière ligne ou tu commets une erreur.

quel est le signe de $u_{n+1}-u_n$ ?

que peux-tu en déduire ?

Citation
quel est le signe de $u_{n+1}-u_n$ ?

Je vois... parce que je n'étais pas sure qu' Un reste Un ou bien devient $U_n$ ²

donc comme cela: U $_{n+1}$ - $U_n$ = $1+(U_n$ )² $+ U$ _n $U_n$ )²
=Un+1

Alors??? Est-ce bien cela?

Je ne suis pas d'accord : $u_{n+1} - u_n = 1 + (u_n)^2 + u_n - u_n = 1 + (u_n)^2$

Citation
Zauctore
Je ne suis pas d'accord : $u_{n+1} - u_n = 1 + (u_n)^2 + u_n - u_n = 1 + (u_n)^2$

Ah mais biensur ! C'est ce que j'avais fait au depart seulement je me suis trompée en recopiant, j'ai mis U $_{n+1}$ à la place de (Un)²

Donc 1+ (Un)² est mon résultat, et ils me demandent d'en déduire le sens de variation de la suite (Un).

Sachant que U0=2 et que tout n appartiennent aux entiers naturels, en calculant les termes suivants, les résultats restent toujours positifs, j'en déduit que Un (positif), au carré restera positifs et ainsi en ajoutant 1, le résulat sera toujours supérieur à 0. Ainsi, Un+1-Un > 0, la suite est donc strictement croissante.

coucou je m'incruste
pas besoin d'en écrire trois pages pour prouver que $u_n$ est strictement croissante lol

$(un)2≥0(u_n)^2\ge0$
et
$1>0$

donc $(u_n)^2+1>0$
alors
$u_n$ est strictement croissante

Merci beaucoup !
J'aurais une autre question à vous poser, au sujet d'un autre exercice mais sur les suites également.

Alors, alors...

Voici l'énoncé:

$U_n$ ) est la suite défini pour tout entier naturel n par Un = (2n+3)%(n+1)

a) Calculer les 3 premiers termes
b) Etudier le sens de variation de la suite (Un)
c) En déduire que la suite (Un) est ...bornée...

Mes Réponses:

a) (Un) est la suite définie pour tout entier naturel n par Un= (2n+3)%(n+1)

$U_0$ =2 x 0+3 % 0+1 = 3
$U_1$ =2 x 1+3 % 1+1 = 5%2
$U_2$ =2 x 2+3 % 2+1 = 7%3

b) Afin d'étudier le sens de variation de la suite (Un), je vais étudier le signe de la différence : Un+1-Un

U $$_{n+1}$-U_n$
= (2(n+1)+3 % (n+1)+1) - (2n+3 % n+1)
= (2n +2 +3 % n+2) - (2n+3 % n+1)
= 2n + 5 (n+1) - (2n +3 (n+2)) % (n+2) (n+1)
= -1 % (n+2) (n+1)

Pour tout entier naturel n, le dénominateur reste positif car en additionnant 2 à n dans la première parenthèse, de même pour 1 dans la deuxième parenthèse, le resulat dans les deux parenthèses sera toujours positifs. De plus, en multipliant ces deux résultats entre eux (après remplacement de n par un entier relatif) le résultat restera positif. Cependant, le numérateur est négatif, donc en divisant un nombre négatif avec un nombre positif, le résultat reste négatif.

Ainsi la suite (Un)<0, elle est donc décroissante.

c) Alors en ce qui concerne la suite "bornée". Apparemment on nous demande le majorant et le minorant. Alors, j'ai dit premièrement que -1<0 donc pour tout entier naturel n> (ou égale) à 0 , ainsi -1 est le majorant de cette suite.
Mais je ne sais pas comment trouver le minorant ...

Pouvez vous m'aider s'il vous plait? :rolling_eyes: J'avoue que j'aime vraiment mathforu !!! Merci beaucoup pour votre aide à tous, ça me fait vraiment plaisir, c'est agréable de se sentir soutenue Merci

Je ne suis pas sur de moi au niveau des suite ca remonte a longtemps
Moi je chercherais la limite de ta suite quand n tend vers l infini et si ta limite est diferente de l enfini alors elle est bornée
Pourais tu me donner la limite de ta suite ??

coucou je vais un peu mofifier ton post pour une meilleure lisibilité

JerryBerry
Merci beaucoup !
J'aurais une autre question à vous poser, au sujet d'un autre exercice mais sur les suites également.

Alors, alors...

Voici l'énoncé:

$u_n)$ est la suite défini pour tout entier naturel n par

$un=2n+3n+1u_n = \frac{2n+3}{n+1}$

a) Calculer les 3 premiers termes
b) Etudier le sens de variation de la suite $u_n)$

c) En déduire que la suite $u_n)$ est ...bornée...

Mes Réponses:

a) $u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel n par

$un=2n+3n+1u_n = \frac{2n+3}{n+1}$

$u0=2x0+30+1=3u_0=\frac{2 x 0+3}{ 0+1} = 3$

$u1=2x1+31+1=52u_1=\frac{2 x 1+3}{1+1} = \frac{5}{2}$

$u2=2x2+32+1=73u_2=\frac{2 x 2+3}{2+1} = \frac{7}{3}$

b) Afin d'étudier le sens de variation de la suite (Un), je vais étudier le signe de la différence : $u_{n+1}-u_n$

$u _{n+1}-u_n$

$\frac{2(n+1)+3}{(n+1)+1} -\frac{2n+3}{n+1}$

$=2n+5n+2−2n+3n+1=\frac{2n+5}{n+2}- \frac{2n+3}{n+1}$

$=(2n+5)(n+1)−(2n+3)(n+2)(n+2)(n+1)=\frac{(2n+5)(n+1)-(2n+3)(n+2)}{(n+2)(n+1)}$

$\frac{-1}{ (n+2) (n+1)}$

il manquait des pararenthèses

Pour tout entier naturel n, le dénominateur reste positif car en additionnant 2 à n dans la première parenthèse, de même pour 1 dans la deuxième parenthèse, le resulat dans les deux parenthèses sera toujours positifs. De plus, en multipliant ces deux résultats entre eux (après remplacement de n par un entier relatif) le résultat restera positif. Cependant, le numérateur est négatif, donc en divisant un nombre négatif avec un nombre positif, le résultat reste négatif.

tu en fais trop !! n est un entier naturel donc le dénominateur est positif donc

Ainsi $(un)≤0(u_n) \le 0$ , la suite est donc strictement décroissante.

pour la suite en effet il faut chercher les limites en 0 et en +∞

ps sos modo je ne comprends pas lorsque je fais apercue la citation passe bien mais pas dans la page du topic
nan c'est bon il n'aime pas les inférieurs ou égaux qui ne viennent pas du Latex c'est pour ça

Ah je vois... et bien déjà nous connaissons -1 qui se situerait en limite la plus grande [-∞; -1]

Ta suite est Un = (2n + 3 ) / (n + 1)
Cherche les limites de cette fonction

[-1,+∞[ si on considère que la suite fonctionne comme une fonction avec n+1=0 au dénominateur donc n=-1
Et comme n appartient aux entiers naturels et bien -1 et le minimum finalement...

Non tu t emmelle les pinceaux
Tu sais que ta suite est decroissante (strictement)
Maintenant donne moi la limite de Un en 0
j attends

La suite (Un) appartient à ]-∞; 0]

oula nan
calcules $u_n$ pour n=0
la suite est définie pour n≥0

miumiu
oula nan
calcules $u_n$ pour n=0
la suite est définie pour n≥0

Bon bon, je réessaye...
U0=3
n≥0
Donc Un appartient à [0; 3]? Mais je ne comprends pas bien... :frowning2:

nan
Uo=3
tu calcules la limite en +∞ tu regardes

indice pour trouver cette limite tu factorises par n

Je factorise n dans 2n+3 / n+1 ??

oui c'est ça tu factorises le numérateur et le dénominateur pas n

Un= 2n+3 / n+1 = n(2/1) + (3/1)...

on récapitule

$un=2n+3n+1u_n = \frac{2n+3}{n+1}$

$lim⁡x→+∞(un)\lim _{x \rightarrow {+} \infty}(u_n)$

⇔ $lim⁡x→+∞2n+3n+1\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac{2n+3}{n+1}$

⇔ $lim⁡x→+∞n(2+3n)n(1+1n)\lim _{x \rightarrow {+} \infty} \frac{n(2+\frac{3}{n})}{n(1+\frac{1}{n})}$

⇔ $lim⁡x→+∞(2+3n1+1n)\lim _{x \rightarrow {+} \infty} ( \frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}} )$

donc $lim⁡x→+∞(un)=\lim _{x \rightarrow {+} \infty} (u_n)=$

ok?!

Peu etre en simplifiant (2 + 3/n) / (1+ 1/n)
=2/1 + n / 3n
= 2n + n / n

Mais vraiment je ne comprends pas bien ces histoires d'infini je n'ai pas encore vraiment étudier ou alors seulement sur les representations graphiques de fonctions de reference...
Merci de votre aide et désolée si je suis longue à comprendre!

Bonsoir,
Bon la méthode de base pour trouver les limites d une fonction a l infini est de factoriser le terme de plus haut degrés ( surtout quand il s agit de fonctions sous forme fractionnaires), ici le plus haut degrés est 1 donc tu factorise n et j attends ton resultat...

S'il vous plait donnez moi des exemples ou quelque chose parce que je ne comprends pas ...

Bon un exemple :

Cherchons la limite en $+∞+\infty$ de f(x)

Prenons la fonction suivante :

$f(x)=(4x2+2x+3)(8x2+6)f(x)=\frac{(4x^{2}+2x+3)}{(8x^{2}+6)}$

Mettons en facteur le terme de plus haut degrés ( ici c est 2 le plus haut degrés ) on met en facteur $x^{2}$

On obtient : $f(x)=x2(4+2x+3x2)x2(8+6x2)f(x)=\frac{x^{2}(4+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}})}{x^{2}(8+\frac{6}{x^{2}})}$

Les $x^{2}$ se simplifient

et on arrive a :

$f(x)=(4+2x+3x2)(8+6x2)f(x)=\frac{(4+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}})}{(8+\frac{6}{x^{2}})}$

Si maintenant on fait tendre x vers $+∞+\infty$ on trouve la limite de f qui est : $48\frac{4}{8}$ soit $12\frac{1}{2}$

A toi de jouer

coucou
tu n'as pas compris mon calcul de limite c'est bien ça??

Ah, et bien dans mon cas, si on fait tendre x vers +∞ on trouve la limite de Un qui est : 2 / 1

bravo !!!!!! donc vers 2 !!!!!

Oui c est ca tu as bien compris ?? Rien de bien compliquer... :razz:

Donc, ma question de départ était, en déduire que la suite est bornée, je peux ainsi dire que quand n tend vers +∞, la suite (Un) a pour limite 2.
Faut-il parler d'autre chose?

oui alors elle est majorée par 3 et minorée par 2

Merci beaucoup à vous deux! Maintenant j'ai compris grâce à votre aide, je respecte votre pacience car j'avoue que j'ai été parfois un petit peu longue à la compréhension...

A très bientôt! Berry

de rien