Sommes/suites/polynomes



  • Salut voila j'ai un problème pour faire un exo....merci d'avence

    I - Il s'agit de trouver une formule donnant la somme des n entiers naturels non nuls de 1 à n.
    On note S(n)=1+2+3+...+(n-1)+(n-2)+n
    On écrit cette somme S(n) = ∑k
    1: Démontrer qu'il existe un unique polynome P de degré 2 vérifiant :
    ->pour tout x, P(x+1)-P(x)=x
    ->P(1)=0
    2:a.justifier que S(n)=P(n+1)-p(1), ou P est le polynome trouvée à la question 1.
    b. en déduire la formule ∑k=(n(n+1))/2
    II- Il s'agit de démontrer la propriété :
    Pour tout entier n : 1^3+2^3+...+(n-1)^3+n^3=(1+2+...+(n-1)+n)² , soit avec la notation précédente ∑k^3=(∑k)²

    1:.P étant le polynome de la première partie, on pose Q(x)=P(x)²
    a.calculer Q(x)
    b.Vérifier que pour tout x on a Q(x+1)-Q(x)=x^3
    2:a.vérifier que ∑k^3=Q(n+1)-Q(1)
    b. en déduire la propriété demandée.

    Merci et si possible j'aimerai avoir des petites explication pask j'ai pas pigé du tou...:(
    bonne soirée



  • Bonsoir
    Exo 1 cf luluce41 post ds 1ere S dm trés urgent...
    Exo 2 tu devrais y arriver si tu as compris le 1 ...tu passera montrer ce que tu as fait deja



  • coucou
    mdr
    J'adore comme ça on peut savoir qui sont les élèves dans les mêmes classes 😉

    http://www.mathforu.com/sujet-4489.html



  • salut !
    je trouve pour la question 1 :
    p(x+1)-p(x)=2ax+a+b=x
    je trouve a= 1/2
    b=-1/2
    c=0
    donc p(x)=1/2x²-1/2x

    question 2.a. :
    je trouve s(n)= (1/2)n²+(1/2)n donc j'en conclu la formule de la question 2.b.

    c'est OK ???



  • ok pour ton polynôme par contre je ne comprends pas ta justification pour la 2a/



  • Il faut faire une petite récurrence
    démontrons par récurrence la propriété sn=p(n+1)p(1)s_n=p(n+1)-p(1)

    initialisation

    s1=...s_1=...

    12×(1+1)212×(1+1)0=...\frac{1}{2}\times (1+1)^2 - \frac{1}{2}\times (1+1)- 0=...
    donc la propriété est vraie au rang 1

    hérédité

    supposons la propriété vraie au rang n alors
    sn=p(n+1)p(1)s_n=p(n+1)-p(1)
    alors on remarque que sn+1=...s_{n+1}=...
    je t'ai lançé a toi maintenant



  • sn+1=sn+(n+1)s_{n+1}= s_n +( n+1)

    ....

    le but c'est de prouver que

    sn+1=p((n+1)+1)p(1)s_{n+1}= p((n+1)+1)- p(1)
    donc

    sn+1=p(n+2)p(1)s_{n+1}= p(n+2)- p(1)



  • Re jvoi apeupré ce que tu a fait mais moyen tu voi...tu pourrai me reespliquer parseque je compren pas a quoi sert ton raisonnement...:( merci



  • mdrrrrrrrrrr
    lol
    oui il faudrait écrire mieux parce que moi non plus je n'arrive pas à te comprendre
    je veux prouver que

    sn=p(n+1)p(1)s_n= p(n+1)- p(1)ok pour tout n ∈mathbbNmathbb{N}

    donc je fais une récurrence
    en faisant une récurrence je montre que si la propriété est vraie pour un certain rang elle est vraie pour le rang suivant donc la propriété est vraie pour tout n
    donc il faut prouver que

    sn+1=p(n+2)p(1)s_{n+1}= p(n+2)- p(1)[/quote]



  • Désoler pour l'abréger je vais faire un effort 😉 alors :

    S(1) = 1/2(1+1)² - 1/2(1+1) - 0 = 1 (ça sert à quoi de faire ça ? je ne vois pas l'intéret)

    S(n+1) = P((n+1)+1) - P(1) = P(n+2) - 0 = 1/2(n+2)² - 1/2(n+2) - 0 = 1/2n² + 2n + 1/2

    voilà mais j'ai pas vraiment l'impression d'avoir démontrer que S(n+1)=P(n+2)-P et encor moins d'avoir justifier l'égalité de la question.merci



  • Pourquoi S(1) devrait être égal à 1 ? Parce que si j'ai bien compris si S(1)=1 la propriété est vérifiée au rang 1



  • tu as déja fais de la récurrence ou c'est la première fois juste pour savoir



  • c'est ma 1ère fois...c'est pour ça que je galer un peu...



  • pour l'info j'avais pas encore rencontrer ce mot en maths...



  • ah ok ba ça ne doit pas forcément être la bonne méthode dans ce cas
    j'en cherche une autre mais dans le même style ...



  • Je te remercie pour ta patience c'est vraiment jentil de m'aider sans me donner les réponses...ouais car j'aime pas du tout quand on me crache la correction toute faite parce que après si on tombe sur un exo de ce type au Devoir bah ''BAM'' on se tape une sale note ! aller merci à taleur ! ^^



  • oui
    alors
    Z m'a fait part qu'il avait déjà traité ça dans un autre post
    je te donne le lien
    Z est prof donc c'est forcément bien expliquer 😁

    http://www.mathforu.com/sujet-3779.html



  • bah c'est pas la meme chose apart pour le polynome de dergré 2 de ma question 1 mais pour le reste ca m'avance a rien.
    tu pourrais me réexpliquer si ca ne te dérenge pas apré je dois y aller c'est pour ça jaimerai bien finir au moins mon exo.

    a) Justifier que S(n) = P(n+1) - p(1), ou P est le polynome trouvée à la question précédente. J'avais trouver P(x) = (1/2)x²-(1/2)x.
    b) En déduire la formulme ∑k = (n(n+1))/2



  • alors ba en fait
    tu le fais et tu réfléchis après ok?!
    tu écris les uns en dessous des autres

    p(n+1)p(n)=np(n+1)-p(n)=n

    pour n allant de 0 à n
    tu fais par exemple 0,1,2,et n
    ensuite tu additionnes toutes les lignes
    c'est magique
    alors?!



  • c'est ok j'ai compris ! merci 😉



  • c'est ok j'ai compris ! merci 😉



  • vraiment ?
    je vais tout de suite dire a Z que j'ai réussi a te faire comprendre en moins de 10 lignes mdr



  • Coucou !
    Bon je n'ai pas vraiment l'habitude des forums alors je vais essayer de me débrouiller comme je peux lool

    Est-ce que vous pouvez m'aider parce que la je suis en panique totale.. J'ai un DM à faire, en fait c'est 2 exos sur les polynômes..

    *1. Déterminer le polynôme P de degré 3 tel que pour tout réel x, P(x+1)-P(x)=x² et P(1)=0.

    1. Démontrer que pour tout entier n>1, 1²+2²+…+n² = P(n+1).

    2. En déduire que :
      1²+2²+…+n² = (n(n+1)(2n+1)) / 6.

    3. En déduire la somme des carrés :
      a. 10 premiers entiers supérieurs ou égaux à 1 ;
      b. 100 premiers entiers supérieurs ou égaux à 1.*



  • coucou
    bienvenue 🙂
    alors une partie de ce sujet a été traitée
    ici

    http://www.mathforu.com/sujet-4487.html
    et là

    http://www.mathforu.com/sujet-4489.html
    normalement tu as toutes tes réponses
    voilà



  • dis nous où tu bloques précisément en fait parce que là c'est très vague ... montre nous ce que tu as trouvé 😉



  • Merci 🙂
    Alors en fait, je n'arrive même pas à démarrer.. Parce que je ne sais pas ce qu'il faut obtenir donc.. en demandant à une amie, elle m'a aidé et on a trouvé ca mais je ne sais pas si c'est bon..

    P(x+1) - P(x) = x² et P(1)=0
    Comme on veut un polynôme de degré 3, ca nous donne
    ax³+bx²+cx+d ?
    et après elle a écrit :
    a(x+1)³+b(x+1)²+c(x+1)+d-

    Ensuite, elle a développé et a obtenu :
    a(3x²+bx+1)+b(2x+1)-x²=0

    ensuite, on sait que : a(1)³+b(1)²+c(1)+d=0
    soit a+b+c+d=0

    et après ???? mci d'avance :razz:



  • ok
    Jly_6608
    Merci 🙂
    Alors en fait, je n'arrive même pas à démarrer.. Parce que je ne sais pas ce qu'il faut obtenir donc.. en demandant à une amie, elle m'a aidé et on a trouvé ca mais je ne sais pas si c'est bon..

    P(x+1) - P(x) = x² et P(1)=0
    Comme on veut un polynôme de degré 3, ca nous donne
    ax³+bx²+cx+d ça c'est P(x)
    et après elle a écrit :
    a(x+1)³+b(x+1)²+c(x+1)+d ça c'est P(x+1) il faut développer tu obtients des x3x^3...etc

    **donc P(x+1)-P(x)=a(x+1)³+b(x+1)²+c(x+1)+d-(ax³+bx²+cx+d)

    soit P(x+1)-P(x)= ...x3x^3+....etc

    ensuite tu poses P(x+1)-P(x)= x² donc ...x3x^3+....=x² et tu fais une identification**
    il faut prendre la même méthode que j'avais fait avec luluce il suffit juste d'adapter un peu
    regarde surtout ça http://www.mathforu.com/sujet-4489.html#bottom



  • ok mais le prob c'est que même en développant, on ne trouve pas de x³ puisqu'ils s'annulent.. Je vais écrire tout le développement ici pour voir s'il est bon..

    a(x³+3x²+3x+1)+b(x²+2x+1)+c(x+1)+d-ax³-bx²-cx-d=x²
    ax³+3ax²+3ax+a
    +bx²+b2x+b
    +cx+c
    +d-ax³-bx²-cx-d=x²
    a3x²+3ax+a+2bx+b=x²
    a(3x²+3x+1)+b(2x+1)=x²
    a(3x²+3x+1)+b(2x+1)-x²=0

    voila.. il n'y a pas de x³ 😕


  • Modérateurs

    Salut.

    Tu as un c qui a disparu en cours de route: corrige l'oubli.

    Ensuite, il faut que tu réduises ton expressions sous la forme:

    (...)x³ + (...)x² + (...)x + (...) = 0

    Comme 2 polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients... qu'en déduis-tu? ( c'est ce que miumiu appelait "identification" )

    @+



  • Jeet-chris
    ( c'est ce que miumiu appelait "identification" )

    Ce n'est plus comme ça qu'on dit??
    comme je suis trrrrrrrrrrrrès gentille je vais te donner un pur lien lol il y a la réponse ce n'était pas voulu mais bon j'espère que tu vas comprendre la methode...

    http://www.webmaths.com/faq/index.php?sid=&lang=en&action=artikel&cat=377603&id=22&artlang=fr
    ++


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