Déterminer le signe et les variations d'une fonction exponentielle

[Loula13]

Bonjour,

Merci de m'aider sur cet exercie

On veut déterminer le signe de la différence ${\text{e}}^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)$

Suivant les valeurs de x et en déduire un encadrement de ${\text{e}}^{-1/100}$

Soit f la fonction telle que $f(x)={\text{e}}^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)$

1. Calculer les dérivées première et seconde $f^{\prime }$ et $f^{\prime \prime }$

2. Etudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ en déduire les variations de $f^{\prime }$ et le signe de $f^{\prime }(x)$

3. En déduire le sens de variations de $f$ et le signe de $f(x)$

4. Déduire du signe de $f^{\prime }(-1/100)$ et $f(-1/100)$

la double inégalité : 0.99 < $e^{(-1/100)}$ < 0.99005

Je n'ai pas de problème pour calculer les dérivées mais pour les signes, les sens de variation, et questions d'inégalités, je rame complètement.
J'ai toujours des difficultés avec les encadrements.

Merci de votre aide.

[Bbygirl]

Salut

Tu pourrais peut etre commencer par nous dire ce que tu as trouvé pour les dérivées première et seconde afin que l'on puisse t'aider

[miumiu]

coucou
Soit f la fonction telle que $f(x)={\text{e}}^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)$

1. Calculer les dérivées première et seconde $f^{\prime }$ et $f^{\prime \prime }$

perso je trouve $f^{\prime }(x)=e^x-1-x$

et

$f^{\prime \prime }(x)=e^x-1$

2. Etudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ en déduire les variations de $f^{\prime }$ et le signe de $f^{\prime }(x)$

$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ ⇔ $e^x-1\ge 0$ ⇔ $x\ge 0$ car la fonction exp est strictement croissante sur $mathbbR$

donc tu peux dresser le tableau de variations de $f^{\prime }(x)$
il faut procéder par étapes ok?!