résolution d'un système de 3 équations à 3 inconnues ...



  • Bonjour à tous 🙂

    En temps normal, j'arrive à résoudre ce type de système, mais là je bloque ! Pouvez vous m'aider ?

    sujet : résoudre le système suivant :

    x²+xy+y²=4(x+y)
    y²+yz+z²=4(y+z)
    z²+zx+x²=4(z+x)

    Merci d'avance !


  • Modérateurs

    Salut,
    Je n'ai pas de méthode de résolution mais j'ai trouvé 4 triplets de solution :
    (0;0;0) ,(4;0;0),(0;4;0) et (0;0;4).
    J'ai remarqué que les solutions étaient interchangeables et je les ai remplacé par zéro ...

    Quand tu connaîtras la ruse ... je serai curieux de la connaître aussi !



  • Salut!
    Dites: y'aurait pas une astuce du style:
    x² + xy + y² = 4(x+y) <==> (x + y)² - xy = 4(x + y)...et pareil pour les autres??...mais j'avoue je n'ai pas continué car je ne suis pas sûre que ça aboutisse!...ou en faisant la 1ère équation moins la 2nde les y² s'en vont... et je crois qu'on est dans une impasse!...néanmoins, les résultats de Thierry sont tout à fait justes!je suis aussi curieuse de savoir comment il fallait faire... en plus c'est un truc de terminale et je n'arrive pas à le faire!!!...hummm J'ENRAGE!!!!



  • voici toutes les solutions :
    S={(0,0,0);(4,0,0);(0,4,0);(0,0,4);(8/3,8/3,8/3);(8/3,8/3;-4/3);(8/3,-4/3,8/3);(-4/3;8/3;8/3)}


  • Modérateurs

    Ok.
    Si on fait la 1ère ligne moins la 2ème on arrive à factoriser pour obtenir :
    (x-z)(x+y+z-4)=0
    alors

    • Soit x=z (on remplace x par z dans la 3ème et en étudiant tous les cas possibles on obtient les solutions que tu indiques)
    • Soit x+y+z-4=0 ce qui conduit à 3 systèmes possibles (en soustrayant les 3 lignes entre elles 2 à 2)
      {x+y+z-4=0
      {x+y+z-4=0
      {x+y+z-4=0 (qui donne un plan)
      ou bien
      {x+y+z-4=0
      {x+y+z-4=0
      {y-z=0 (qui donne une droite de l'espace)
      ou bien
      {x+y+z-4=0
      {y-z=0
      {x-z=0
      qui donne le triplet (4/3;4/3;4/3) qui n'est en fait pas solution du système initial donc éliminé.
      Quant aux 2 premiers systèmes j'ai testé quelques triplets du plan P(x+y+z-4=0) qui s'avèrent ne pas être solutions.

    *Ce que je ne sais pas c'est pourquoi on peut être sûr qu'aucun point de ce plan P ne peut être solution et comment tu es sûr qu'aucun autre point appartenant à P n'est solution.

    As-tu une idée là-dessus ? :rolling_eyes:



  • oups, excusez-moi de ne pas vous avoir répondu alors que vous avez tous cherché à m'aider : je m'en veux ...

    Alors flight tu as raison, les solutions étaient :

    (0,0,0)
    (4,0,0)
    (0,4,0)
    (0,0,4)
    (8/3,8/3,8/3)
    (8/3,8/3;-4/3)
    (8/3,-4/3,8/3)
    (-4/3;8/3;8/3)

    merci de votre aide à tous !!

    @+



  • Salut!
    Bon c'est bien beau tout ça...mais comment on y arrive?avec ma méthode c'est bon?
    Biz


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