encadrement de la dérivée : problème court mais ...
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Salut,
C'est sur la question 2 de cet exercice que je n'ai pas encore trouvé la solution. Vous allez peut-être pouvoir me donner un coup de pouce
f est une fonction définie et dérivable sur R telle que :
-f(x)≤f'(x)≤f(x)
On pose g(x)=exg(x)=e^xg(x)=ex.f(x) et h(x)=e−xh(x)=e^{-x}h(x)=e−x.f(x)- Montrer que g est croissante et h est décroissante.
On trouve g'(x)=ex(x)=e^x(x)=ex[f'(x)-f(x)] et l'encadrement de l'énoncé permet de prouver que g'(x)≥0. Le raisonnement est similaire pour h'(x).
- Montrer que si f(0)=0 alors f(x)=0 quelque soit x∈R
Il me semble qu'il faut chercher à montrer que f est alors une fonction constante mais je n'ai pas encore trouvé le truc. Quelqu'un a une idée ?
Merci d'avance
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Sstuntman78 dernière édition par
bonsoir thierry !
en ce qui concerne le 2) sachant que les questions se suivent en maths,j'en conclu qu'il faut se servir de la question 1) pour montrer que f est constant mais comment je ne me souviens plus,je me souviens juste avoir deja vu un exercice de ce type
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C'est très probable en effet.
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Sstuntman78 dernière édition par
ou alors j'ai peut etre une petite idée:
vu que -f(x)≤f'(x)≤f(x) alors -f(0)≤f'(0)≤f(0)
Or f(0)=0 donc -f(0)=0=f(0)
ainsi -f(x)=f'(x)=f(x)
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Si f'(0)=0 cela ne justifie pas que f'(x)=0 pour tout x.
(Jeet dans son infinie délicatesse me souffle une solution en privé, je vais tâcher de voir ça). Bonne nuit !
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Salut,
Quand j'ai un problème en tête ...Bon j'ai pu y repenser aujourd'hui et j'ai trouvé la solution. Je viens vous en faire part.
(miumiu si le coeur t'en dit, tu pourras le mettre au LaTeX mais il y a beaucoup de ≤) )
Remarquons d'abord que si f(0)=0f(0)=0f(0)=0 alors g(0)=h(0)=0g(0)=h(0)=0g(0)=h(0)=0.
Comme ggg est décroissante et hhh croissante,
si x < 0 alors g(x)≥0g(x) \ge 0g(x)≥0 et h(x)≤0h(x) \le 0h(x)≤0
si x≥0x \ge 0x≥0 alors g(x)≤0g(x)\le 0g(x)≤0 et h(x)≥0h(x) \ge 0h(x)≥0
Nous avons −f(x)≤f′(x)≤f(x)-f(x) \le f'(x) \le f(x)−f(x)≤f′(x)≤f(x)
Or f(x)=e−x×g(x)=ex×h(x)f(x) = e^{-x}\times g(x) = e^x \times h(x)f(x)=e−x×g(x)=ex×h(x)
donc
(A) −e−x×g(x)≤f′(x)≤e−x×g(x)-e^{-x}\times g(x) \le f'(x) \le e{-x}\times g(x)−e−x×g(x)≤f′(x)≤e−x×g(x)
(B) −ex×h(x)≤f′(x)≤ex×h(x)-e^{x}\times h(x) \le f'(x) \le e^{x}\times h(x)−ex×h(x)≤f′(x)≤ex×h(x)
Quand x < 0 :
h(x)≤0h(x) \le 0h(x)≤0 donc ex.h(x)≤0e^x.h(x) \le 0ex.h(x)≤0 et −ex.h(x)≥0-e^x.h(x) \ge 0−ex.h(x)≥0
donc (B) ⟶\longrightarrow⟶ 0≤f′(x)≤00 \le f'(x) \le 00≤f′(x)≤0 donc fff est constante
Quand x≥0x \ge 0x≥0 :
On utilise le même raisonnement que précédemment avec ggg et l'encadrement (A).Ainsi fff est constante sur r\mathbb{r}r et f(x)=0f(x)=0f(x)=0 ∀x\forall x∀x
à ton service ^^
