Montrer qu'une suite est arithmétique et donner sa raison et son terme général



  • bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice

    la suite Un est definie par les relations suivantes:
    Uo=1
    U1=8
    pour tout naturel n supérieur ou égal à 2,
    Un=4(UUn=4(U{n-1}U</em>n2-U</em>{n-2})

    a)Montrer que la suite (Vn) définie par Un=2nUn=2^nVn vérifie pour tout n supérieur ou égale à 2 la relation:
    Vn- VV{n-1}=V=V{n-1}Vn2-V_{n-2}
    En déduire que la suite (Vn) est arithmétique
    Quelle est sa raison?

    b)Déterminer le terme général de la suite (Vn) puis celui de la suite (Un).



  • senate

    la suite (Vn) définie par Un=2nUn=2^nVn
    Salut !
    Peux-tu me confirmer que tu n'as pas fait là une erreur de frappe ? Je n'ai pas vérifié avec la suite mais ça m'intrigue cette tournure d'énoncé ...



  • bonjour, non je n'ai pas fais d'erreur de frappe c'est bien ça



  • Merci.

    a) Tu peux partir de l'expression de départ : UUn=4(U=4(U{n-1}Un2-U_{n-2})

    • Puis tu remplaces dans cette expression :
      UnU_n par 22^nVnV_n
      Un1U_{n-1} par 22^{n-1}Vn1V_{n-1}
      Un2U_{n-2} par ...
    • Tu développes à droite puis simplifies la ligne en remarquant que 4=224=2^2
    • Tu divises les deux membres de l'égalité par 2n2^n. Tu dois alors remarquer une simplification entre numérateurs et dénominateurs.
    • Tu es alors très proche de la relation demandée ^^

    b) Tu peux appeler R = VnV_n - Vn1V_{n-1}.
    Je te propose de faire un raisonnement par récurrence pour démontrer que VnV_n - Vn1V_{n-1} = R quelque soit n. Il faudra te servir du résultat de la question précédente.

    A bientôt.



  • merci



  • Un= 4(U4(U{n-1}U</em>n2-U</em>{n-2})
    2n2^nVn= 4 (2(2^{n-1}VV{n-1}2-2^{n-2}V</em>n2V</em>{n-2})

    je développe
    2n2^nVn= 88^{n-1}VV{n-1}8-8^{n-2}V</em>n2V</em>{n-2}
    mais je ne comprend pas comment simplifier



  • Bon ton développement est à revoir.
    2n12^{n-1}=2²×2n12^{n-1} et là c'est la règle (ab)(ab)^n=an=a^n.bnb^n qu'il faut appliquer.

    Le développement va donc donner :
    22^nVVn=2=2^{n+1}VV{n-1}2-2^nVn2V_{n-2}


 

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