Montrer qu'une suite est arithmétique et donner sa raison et son terme général

[senate]

bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice

la suite Un est definie par les relations suivantes:
Uo=1
U1=8
pour tout naturel n supérieur ou égal à 2,
$Un=4(U${n-1}$-U</em>n-2$)

a)Montrer que la suite (Vn) définie par $Un=2^n$Vn vérifie pour tout n supérieur ou égale à 2 la relation:
Vn- $V${n-1}$=V${n-1}$-V_{n-2}$
En déduire que la suite (Vn) est arithmétique
Quelle est sa raison?

b)Déterminer le terme général de la suite (Vn) puis celui de la suite (Un).

[Thierry]

senate

la suite (Vn) définie par $Un=2^n$Vn
Salut !
Peux-tu me confirmer que tu n'as pas fait là une erreur de frappe ? Je n'ai pas vérifié avec la suite mais ça m'intrigue cette tournure d'énoncé ...

[senate]

bonjour, non je n'ai pas fais d'erreur de frappe c'est bien ça

[Thierry]

Merci.

a) Tu peux partir de l'expression de départ : $U$n$=4(U${n-1}$-U_{n-2}$)

• Puis tu remplaces dans cette expression :
  $U_n$ par $2$^n$V_n$
  $U_{n-1}$ par $2$^{n-1}$V_{n-1}$
  $U_{n-2}$ par ...
• Tu développes à droite puis simplifies la ligne en remarquant que $4=2^2$
• Tu divises les deux membres de l'égalité par $2^n$. Tu dois alors remarquer une simplification entre numérateurs et dénominateurs.
• Tu es alors très proche de la relation demandée ^^

b) Tu peux appeler R = $V_n$ - $V_{n-1}$.
Je te propose de faire un raisonnement par récurrence pour démontrer que $V_n$ - $V_{n-1}$ = R quelque soit n. Il faudra te servir du résultat de la question précédente.

A bientôt.

[senate]

merci

[senate]

Un= $4(U${n-1}$-U</em>n-2$)
$2^n$Vn= 4 $(2$^{n-1}$V${n-1}$-2$^{n-2}$V</em>n-2$)

je développe
$2^n$Vn= $8$^{n-1}$V${n-1}$-8$^{n-2}$V</em>n-2$
mais je ne comprend pas comment simplifier

[Thierry]

Bon ton développement est à revoir.
4×$2^{n-1}$=2²×$2^{n-1}$ et là c'est la règle $(ab)$^n$=a^n$.$b^n$ qu'il faut appliquer.

Le développement va donc donner :
$2$^n$V$n$=2$^{n+1}$V${n-1}$-2$^n$V_{n-2}$