Polynôme et courbe



  • Bonjour, un petit problème:

    1. On cherche à determiner une fonction f polynôme du troisième degrès de la forme f(x)=ax³+bx²+cx+d sachant que sa courbe Cf dans un repère orthonormal (O;i;j) vérifie les trois conditions initiales:
      -Cf passe par 0 et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -2
    • la tangente à Cf en son point d'absisse 1 est parralèle à la droite d'équation y=3x+1
    • Cf passe par le point A(-1;2)

    a) (question de cours:) Soit x0x_0 un réel. en utilisant le taux d'accroissement montrer que f'(x(x_0)=3ax0)=3ax_0²+2bx0+2bx_0+c
    b) en déduire f'(o) et f'(1)
    c) En déduire f

    Dans la suite de l'exercice, on pourra supposer que
    f(x)=x3f(x)=x^3+x²-2x

    1. Determiner les points d'intersectionde Cf avec les axes des absisses.
      3.Donner une équation de la tangente à Cf en O. déterminer son point d'intersection avec CF .
      4.Rechercher les abcisses des points Cf où la tangente est parralèle à l'axe des abcisses.
      5.étudier les variations de f et donner son tableau de variation.

    Donv voila, j'ai buggé dessu j'ai réussi toute la dernière partie avec ma calculette mais je n'ai pas réussi a le démontrer donc voila si vous arrivier a me l'expliquer se serait bien .
    merci d'avance


  • Modérateurs

    Salut.

    Tu as bugué dessus, moi je veux bien, mais à partir de quelle question ? Parce que :

    1. On dérive pour compléter un système d'équations qui nous permet de déterminer les coefficients.

    2. Cf coupe l'axe des abscisses ⇔ f(x)=0

    3. Du cours normalement, puis tangente(x) = f(x).

    4. On raisonne sur les coefficients directeurs.

    @+



  • f(0)=0 ⇒ d=0

    f'(0)=-2 ⇒ c=-2

    f'(1)=3 ⇒ 3a + 2b - 2 = 3

    f(-1)=2 ⇒ -a + b + 2 = 2

    Ce qui nous fait pour les valeurs de a et de b ..... 😁

    Il semblerait que la fonction f soit bien définie par
    f(x)=x³+x²-2x=0



  • Ensuite la résolution de l'équation f(x)=0

    Une factorisation s'impose ....

    x³+x²-2x=0

    Le facteur commun saute aux yeux !

    Dans l'écriture factorisée, apparaîtra nécessairement un trinôme du second degré qu'il faudra alors résoudre ... 😁



  • Une solution graphique, qu'il te faudra toi résoudre algébriquement ...

    http://img356.imageshack.us/img356/5458/courbegraphtz4.png



  • Equation de la tangente au point d'abscisse x = 0

    Calcul de f'(0)

    Puis équation de la tangente de la forme y = ax + b

    On a la valeur de a = f'(0), reste à trouver la valeur de b ....

    Tu auras une confirmation de la valeur de b en regardant la représentation graphique ci-dessus ... 😁



  • Rechercher les abcisses des points Cf où la tangente est parallèle à l'axe des abcisses.

    Une nouvelle équation du second degré à résoudre ...

    f'(x)=0 ⇔ 3x² + 2x - 2 = 0

    Deux solutions qu'il te faudra trouver ...
    x'=(-1+√7)/3
    x"=(-1-√7)/3

    Ensuite le tableau de variation , ça devient du gateau .... 😁

    @+ sur le net



  • Bon recommencons depuis le début parce que la je comprend pas grand chose merci quand même de m'avoir répondu aussi vite.

    alors pour le petit a il faut démontrer que f(x)=ax³+bx²+cx+d a pour dérivée f'(x)=3ax²+2bx+c don c'est la que commence mais problème car je comprend bien cela mais je ne sais pas le démontrer, je sais que ax³ = 3ax² quand on le dérive que bx²= 2bx quand on le dérive que cx et dérivable et donne c et que d est une constante donc sa dérivée et nulle mais comment le démontrer????

    pour le 2)
    pour calculer f'(o) je remplace tous les x de l'équation précédente par 0 ce qui donne f'(0)= 3a0²+2b0+c donc f'(o)=c c'est ça ? ou pas.?
    donc aprés je fais pareil pour 1 ce qui donne :
    f'(1)=3a1²+2b1+c
    soit f'(1)=3a²+2b+c ??????

    c) pour ce qui est d'en déduire f je cale.

    et le reste je n'est pas réussi sauf a la calculette.
    donc voila
    aidez moi s'il vous plait.... :frowning2:

    aufaite j'ai calculer la factorisation de Baernhard
    x³+x²-2x= x(x²+x-2)
    mais je ne comprend pas a quoi elle sert.



  • salut.
    tu as:f(x)=axf(x)=ax^3+bx2+bx^2+cx+d
    tu auras :f'(-2)=0 et f(-1)=2 aussi on a f'(1)=0 // à l'équation y=3x+1
    donc f'(x)=3ax2(x)=3ax^2+2bx+c tu dois avoir ce systeme :
    f'(-2)=0:12a-4b+c=0
    f(-1)=2:-ac+d=2
    f'(1)=0:3a+2b+c=3 car 2 droites paralleles on même coefiscient directeur au niveau de la tangente tu derive f(x) et tu cherche l'equation de la tangente en 1 puis tu identifie avec y suivant les ordres de puissances pour obtenir la 3e3^e equation.
    tu n'auras qu'à resoudre ce systeme de 3 equation.



  • Je suis vraiment désolé de vous dire ça comme ça mais pouvez vous m'expliquer plutot que me donner dirctement les réponses car je ne comprend vraiment pas ! même pas la question 1. alors c'est pour
    Mais merci quand même d'avoir essayer c'est super gentil alorssi vous arriver a me faire comprend se serait génial
    merci d'avance et bonne soirée
    😉



  • coucou
    je débarque dans l'exercice
    a) (question de cours ) Soit x0x_0 un réel. en utilisant le taux d'accroissement montrer que f(x0)=3ax02+2bx0+cf'(x_0)=3ax_0^2+2bx_0+c

    je regarde le cours
    définition

    Si f est une fonction qui va de [a,b] dans R, et si x0x_0 est un point de [a,b], le taux d'accroissement de f en x0x_0 est la fonction définie, là où c'est possible, par t(h)=f(x0+h)f(x0)ht(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. Le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0.

    donc j'applique cette définition à notre fonction

    t(h)=a(x0+h)3+b(x0+h)2+c(x0+h)+d)(ax03+bx02+cx0+d)ht(h) = \frac{a(x_0+h)^3+b(x_0+h)^2 + c(x_0+h) + d)-(ax_0^3+ bx_0^2 + cx_0 + d)}{h}

    je développe et je simplifie

    t(h)=3x02h+3x0h2+h3+2x0h+h2+chht(h) = \frac{3x_0^2h+ 3x_0h^2 + h^3 + 2x_0h + h^2 + ch}{h}

    t(h)=3x02+3x0h+h2+2x0+h+ct(h) = 3x_0^2 + 3x_0h + h^2 + 2x_0 + h + c

    lorsque h tend vers 0 on a

    limh0t(h)=limh0(3x02+3x0h+h2+2x0+h+c)=3x02+2x0+c\lim _{h \rightarrow 0}t(h) = \lim _{h \rightarrow 0}(3x_0^2 + 3x_0h + h^2 + 2x_0 + h + c) = 3x_0^2 + 2x_0 + c

    ok ?!



  • Enfaite ici f(a+h) est remplacée par a(x+h)³+b(x+h)²+c(x+h)+d ????



  • est ce que j'ai mis f(a+h)f(a+h) ?! non j'ai mis f(x0+h)f(x_0+h) qui est remplaçé par

    a(x0+h)3+b(x0+h)2+c(x0+h)+da(x_0+h)^3+b(x_0+h)^2+c(x_0+h)+d



  • non désolé mais c'est parce que dans mon cours de math je l'ai appris sous la forme f(a+h)
    désolé.



  • Pour le petit b, quand il nous demande de déduire du a f(0) et f(1), pour les déduire je remplace x par 0 et x par 1??
    ce qui nous donnerais^pour f(0)=a×0³+b×0²+c0+d
    =d ???
    pour f(1)= a1³+b1²c+d
    =a+b+c+d???

    merci d'avance



  • il faut que tu apprennes a lire ton énoncé

    b) en déduire f'(0) et f'(1)

    on t'interroge sur la dérivée donc tu prends la formule de la dérivée que tu viens de calculer et tu rempléçes le x0x_0 par 0 et 1



  • ce qui donne
    f'(o)=(a(0+h)³+b(0+h)²+c(0+h)+d-(a×0³+b×0²+c×0+d))/h??
    f'(0)=(ah³+bh²+c+d-d)/h
    f'(0)=ah³+bh²+c)/h
    et lorsque h tend vers 0
    limf'(0)=0 ,?????????????????????????
    h→0



  • mais qu'est ce que tu me fais comme calculs ?!

    f(x0)=3ax02+2bx0+cf'(x_0)=3ax_0^2+2bx_0+c
    tu viens de le prouver c'est fini maintenant on utilise cette formule pas besoin de revenir en arrière

    f(0)=3a×02+2b×0+c=cf'(0 ) = 3a\times 0^2 + 2b\times 0 + c = c

    f(1)=3a×12+2b×1+c=3a+2b+cf'(1) = 3a\times 1^2 + 2b\times 1 + c = 3a + 2b +c



  • Ah okay je me suis encore compliqué la vie pour rien. Mais pour trouver f (au petit c ) comment on fait vu que l'on a aucune valeures ? et quand il demande de calculer f c'est par la dérivée c'est la fonction initiale ?
    merci beaucoup



  • quelle est la formule pour calculer l'équation d'une tangente en un point x0x_0?



  • je crois me rappeller que la formule est a(x+h)+f(x) mais j'ai un doute entre + f(x) ou +f'(x)



  • y=f(x0)(xx0)+f(x0)y = f '(x_0) (x - x_0) + f(x_0)

    je ne peux pas apprendre ton cours à ta place malheureusement

    maintenant tu vas lire ton énoncé , les données que l'on te donne sur la fonction ( en ce qui concerne les tangentes ...)



  • les donées que j'ai concernant les tangentes sont:

    -Cf passe par 0 et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -2

    • la tangente à Cf en son point d'absisse 1 est parralèle à la droite d'équation y=3x+1


  • on peut remplacé x0x_0 par -2 car le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente
    donc y= -2(x-2)+f(-2) est cela ou pas du tout ?



  • ok je pense qu'il y a de l'idée ...
    la tangente en 0
    pour x_0 = 0

    y(x)=f(x0)(xx0)+f(x0)y (x) = f '(x_0) (x - x_0) + f(x_0)

    y(x)=cxc×0+dy (x) = c x - c \times 0 + d

    y(x)=cx+dy(x) = cx + d

    or dans l'énoncé on nous dit que son coefficient directeur c'est -2 donc c= -2



  • désolé mais la je ne comprend plus :frowning2:
    ou est parti le f'(x0(x_0)et f(x0f(x_0) le (xx0(x-x_0) et d'où viennent le -c*0d+cx ?
    désolé mais la j'ai buggé



  • ok alors je suis peut être allée trop vite :rolling_eyes:
    la tangente en 0
    pour x0=0x_0 = 0

    y(x)=f(x0)(xx0)+f(x0)y (x) = f '(x_0) (x - x_0) + f(x_0)

    y(x)=f(0)(x0)+f(0)y (x) = f '(0) (x - 0) + f(0)

    or f(0)=cf'(0) = c voir la question précédente

    f(0)=a×03+b×02+c×0+d=df(0) = a\times 0^3 + b\times 0^2 + c\times 0 + d = d
    je développe

    y(x)=cxc×0+dy (x) = c x - c \times 0 + d

    y(x)=cx+dy(x) = cx + d

    or dans l'énoncé on nous dit que son coefficient directeur c'est -2 donc c= -2



  • okay j'ai compris donc vu que c=-2
    y=-2×x+d
    y=-2x+d
    Mais on ne connait pas d
    et le fait de calculer y nous permet de connaitre f ??
    merci encore :rolling_eyes:



  • la tangente en 1
    pour x0=1x_0 = 1

    y(x)=f(x0)(xx0)+f(x0)y (x) = f '(x_0) (x - x_0) + f(x_0)

    y(x)=f(1)(x1)+f(1)y (x) = f '(1) (x - 1) + f(1)

    or f(1)=3a+2b+c=3a+2b2f'(1) = 3a + 2b + c = 3a + 2b -2 voir la question précédente

    f(1)=a×13+b×122×1+d=a+b2+df(1) = a\times 1^3 + b\times 1^2 -2\times 1 + d = a + b -2+ d
    je développe

    y(x)=(3a+2b2)x(3a+2b2)+a+b2+dy (x) = (3a + 2b -2)x - (3a + 2b -2) + a + b -2+ d

    y(x)=(3a+2b2)x2ab+dy(x) = (3a + 2b -2)x -2a -b + d

    or dans l'énoncé on nous dit que
    la tangente à Cf en son point d'absisse 1 est parralèle à la droite d'équation y=3x+1

    donc le coefficient directeur de notre tangente est le même que cette droite

    3a+2b2=33a + 2b -2 = 3

    soit 3a+2b=53a + 2b = 5

    je regarde les autres conditions pour pouvoir faire le système ...
    dis moi si tu suis jusque là



  • de plus nous avons f(0) = 0 donc

    a×03+b×02+c×0+d=0a\times 0^3 + b\times 0^2 + c\times 0 + d = 0
    donc d=0

    Cf passe par le point A(-1;2)

    donc a×(1)3+b×(1)22×1+0=2a\times (-1)^3 + b\times (-1)^2 -2\times -1 + 0 = 2

    donc a+b=4-a +b= 4

    tu as le système


Se connecter pour répondre
 

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.