Le cercle des neufs points

Dans un triangle ABC, on appelle I,J,K les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB], H eslt l'orthocentre ; M, N, P sont les milieux respectifs de [HA], [HB], [HC].

Démontrer que les segments [IM], [JN] et [KP] ont même milieu et même longueur.
Démontrer que le cercle de diamètre [IM] passe par les pieds des hauteurs du triangle ABC, ainsi que par les points J, K, N et P.
Le cercle de diamètre [IM], qui passe par 9 points "remarquables" du triangle , est appelé cercle des neufs points, ou cercle d'Euler.

Après une heure de reflexion je ne suis pas parvenue à repondre à la première question, je pensais à prouver que les quadrilatères KNPJ et NMPI sont des rectangles mai je ne m'en sors pas.
Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour et bienvenue sur ce forum,

En utilisant le moteur de recherche de ce forum tu aurais trouvé un lien qui traite de façon très complète ce sujet :

le cercle des 9 points

Bonsoir,
J'avais préalablement étudié ce lien, mais je n'arrive toujours pas à savoir comment je pourrais prouver l'égalité de segments sécants grace aux trapèzes isocèles
Merci d'avance pour vos réponses

Il doit y avoir une utilisation du théorème de la droite des milieux.

Merci beaucoup, je pense y arriver!

Grace aux théoremes de la droite des milieux je suis parvenue à prouver le paralléllisme (KJ) et (NP) et que KJ=NP
Donc KJPN est un parallélogramme donc ses diagonales se coupent en leurs milieux.
De meme pour JIMN.
Donc j'ai prouver que [IM], [JN] et [KP] ont même milieu mais pas meme longueur.
Il fodrait peut-être que je prouve que c'est un rectangle mais je n'y arrive pas! :frowning2:

Merci d'avance pour vos conseils.

Salut,
Pour démontrer que KJPN est un rectangle, il te suffit de montrer que ce parallélogramme a un angle droit.
Voici quelques étapes pour le démontrer :

Démontrer que (KN)//(HA)
En déduire que (KN)⊥(BC)

Ca va aller non ?

Bonjour!
Je suis parvenue à achever la première question!! Cependant j'ai un petit doute sur la seconde question. J'ai déjà prouver que les points J, K, N, P sont sur le cercle (je me suis servie du fait que c'était des segments de même milieu et même longueur) mais maintenant je me demande si pour prouver que les pieds des hauteurs sont sur le cercle il ma faut utiliser la méthode de Zauctore: prouver que ce sont des trapèzes isocèles puis qu'il y a un axe de symétrie ..... Je pense que la méthode pourrait marcher mais elle est très longue n'y orait-il pas une méthode plus simple ?

Mercii d'avance