Formule de Viète (trigonométrie)



  • Bonjour,
    J'ai un exercice sur la trigonométrie, le cours j'ai compris mais je ne vois pas vraiment comment l'appliquer ici.

    On démontre la formule :
    sin p + sin q = 2 * sin ((p + q) / 2) * cos ((p - q) / 2)
    p et q étant des mesures d'angles aigus.
    C est un cercle de centre O et de rayon 1 égal à OB. On construit comme sur la figure ci-dessous, les points A et C tels que l'angle AOB = q et l'angle BOC = p.
    a) Démontrer que CK = sin p + sin q.
    b) En utilisant une propriété des angles inscrits, démontrer que l'angle KCA mesure (p-q) /2
    c) Exprimer la longueur CA en fonction de p + q
    d) Démontrer que sin p + sin q = 2 * sin ((p+q) / 2 ) * cos ((p-q) / 2)

    Alors, si vous auriez des pistes pour m'éclairer parce que là....
    Merci.

    http://www.hiboox.com/vignettes/0907/d1a7e652.jpg



  • coucou
    alors le plus facil pour commencer tu vas me calculer CI



  • coucou,
    Merci alors CI = sin p car sin p = CI / OC or OC = 1 car c'est un rayon.



  • ok maintenant je veux JA



  • JA = sin q or IJAK est un rectangle donc JA = IK.
    D'ou CK = CI + IK = sin p + sin q
    Merci !



  • cool ^^
    dis moi maintenant où tu bloques ?



  • je vois bien 2 angles inscrits COA et CKA mais pour déterminer KCA = (p-q)/2 je ne vois pas . Et en plus, je ne me souviens plus de la propriété des angles inscrits.



  • Re,
    Alors j'ai enfin trouvé!
    L'angle KCA = (p-q)/2 et pour la question c je fais Al-Kashi dans le triangle CAO et je trouve CA² = 2 - 2cos (p+q)
    C'est bien mais je n'arrive pas à trouver le résultat final, à faire concorder avec la formule.
    sin p + sin q = CK
    (p-q)/2 = l'angle KCA
    mais (p+q)/2 je ne vois pas.
    Sinon, pour le moment ça fait CK = 2 * sin (p+q)/2) * cos KCA, mais bon. Pourriez vous m'éclairer ??



  • je ne comprends c'est la réponse à la question ce que tu viens de m'écrire ...



  • oui mais sin(p+q)/2 il doit bien être remplacé par un angle, et je ne trouve pas !!!! parce que cos KCA = cos (p-q)/2



  • ok alors

    cos KCA = CK /CA

    CK = CA * cos KCA

    sin p + sin q = CA * cos (p-q)/2

    bon alors ce qui nous énerve c'est la CA

    on a CA² = 2 - 2cos (p+q)

    CA² = 2(1 - cos (p+q))

    ca=2(1cos(p+q)ca = \sqrt{2(1 - \cos (p+q)}

    concentrons nous sur le cos (p+q)

    on sait que
    cos(2a) = 1 - 2 sin²a

    maintenant regarde c'est avec cette formule qu'on va pouvoir s'en sortir normalement



  • ok mais si on fait a = p + q
    ca nous donne cos (2a) = 1 - 2 sin² (p+q) et comment le réinjecter dans la formule et s'en sortir avec la racine carré etc ?



  • non il faut prendre a=p+q2a = \frac{p+q}{2}
    et maintenant tu vois ?



  • cos(p+q)=12sin2(p+q2)\cos (p+q) = 1 -2 sin^2(\frac{p+q}{2})

    1cos(p+q)=2sin2(p+q2)1- \cos (p+q) = 2sin^2(\frac{p+q}{2})

    2(1cos(p+q))=4sin2(p+q2)2(1- \cos (p+q)) = 4sin^2(\frac{p+q}{2})

    donc ...
    bon ok c'est un peu tordu mais c'est de la trigo d'un coté :rolling_eyes:



  • merci beaucoup, c'est vrai que c'est un peu tordu mais bon c'est des maths 😉
    encore merci merci



  • c'est pas les maths qui sont tordues c'est la trigo 😁 toutes ces formules qu'il faut apprendre :rolling_eyes:
    bref de rien ^^


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