tangente, limite, asymptote

bonjour,

J ai un exercice à faire et je le trouve assez compliqué, pour résumer je coule, le voici:

Enoncé :

On considère la fonction f qui associe au réel x, quand c 'est possible, le réel

( x^3 ) / ( x² + 3x + 3 )

La courbe de f dans un répère orthonormal ( O, i, j ) est notée Cf

Determiner les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
Dresser le tableau de variation de f
Preciser les tangentes à Cf qui sont parallèles à l'axe des abscisses.
Determiner les limites en +∞ et en -∞ de la fonction x→ f(x) - x
En déduire une asymptote D à Cf. Etudier les positions relatives de D et de Cf
Comparez, pour tout réel x, f( (-3/2) - x ) et f ( (-3/2) + x ). Qu'en déduis t-on pour Cf ?
Construire Cf en tenant compte de tout ce qui précède.

Voici mes résultats:

f est une fonction rationnelle, j'ai donc cherché les valeurs interdites. Pour cela j ai calculé le descriminant du trinome du dénominateur, j ai trouvé un descrimiant négatif donc la fonction est du signe de x, en conclusion la fonction est defini sur R.

lim f(x) = +∞ lim f(x) = - ∞
x→+∞ x→-∞

Pour le tableau de variation, j ai calculé la dérivée j ai trouvé
( x² ( x² + 6x + 9 ) ) / ( x² + 3x + 3 ) ²
J ai donc calculé le decriminant du trinôme du numérateur, ce descriminant vaut 0 il y a donc une solution qui est - 3. Le problème est que dans le tableau pour les valeurs de x je met - ∞ , - 3 , 0, + ∞ mais pour les flèches je met que des flèches croissantes ou une flèche décroissante car à la calculette j ai que du croissant.

3 ) Je suis totalement largué à cette question, pourriez m aider et surtout mexpliquer ?

lim f(x) = - 3 lim f(x) = - 3
x→+∞ x→-∞

Moi je dirais que y = x - 3 est asymptote à Cf...

Je ne l ai pas encore faite, j en reparlerai plus tard
Qu est ce qu'il faut ajouter de plus a pat une courbe lol ?

Les internautes qui auraient la bonne idée de m aider lol pourriez vous noter le numéro de la question à laquelle vous repondé, je vous remercie.

Cordialement

bonjour,

Tu fais un erreur dans l'étude du signe de f '(x) ! Puisque le discriminant de x² + 3x + 3 est nul , qu'en déduis-tu pour le signe de x² + 3x + 3 ?

quel est le signe de x² ? quel est le signe de (x² + 3x + 3)² ?

Pour les tangentes parallèles à l'axe des abscisses : quel est le coefficient directeur d'une droite parallèle à l'axe des abscisses ? Et quel lien y a-t-il entre le coefficient directeur d'une tangente à la courbe et la fonction dérivée (regarde ton cours)

pour le 4) il y a incohérence entre ce que tu écris en 4 et ce que tu as écrit en 1) : il faut que tu recommences en calculant f(x) - x

Que voulez vous dire par une erreur dans le signe de f'(x) ?
Je ne comprends pas

Bonjour !

Citation
( x² ( x² + 6x + 9 ) ) / ( x² + 3x + 3 ) ²
J ai donc calculé le decriminant du trinôme du numérateur, ce descriminant vaut 0 il y a donc une solution qui est - 3. Le problème est que dans le tableau pour les valeurs de x je met - ∞ , - 3 , 0, + ∞ mais pour les flèches je met que des

Eh bien revoit ton cours , quelle est le signe de x² , toujours positif , et comme le discriminant de x² + 6x + 9 est nul alors quel est le signe du trinôme ??
Je te rassure on trouve bel est bien une fonction croissante !

le trinome est nul alors nOn ?

ah bah il est pas nul pour tout x non, mais ce qui nous interesse c'est son signe.
Le signe du trinome d'un Second degré est du signe de :
... si ∧ negatif
... si ∧ est nul mais il s'........ en ...
... si ∧>0 sauf à l'interieur des racines où il est du signe de .....

mais je comprends pas, c'est que dans le tableau de variation entre - 3 et 0, il n y est pas de changement du sens de variation

non il n'y en a pas et alors?

Cela existe les fonctions croissantes sur l'ensemble de leur domaine de définition

par exemple les fonctions définies par h(x) = 2x - 23 ou g(x) = $x^3$

On calcule la dérivée pour étudier le signe de f '(x) ; c'était le sens de ma question de 16h31

Si f '(x) ≥ 0 quelque soit x ∈ $D_f$ alors f est croissante sur $D_f$

ben je sais pas généralement quand j ai jamais rencontré de tableau de variation où il n'y avait pas de changement entre les racines.
C'est pour ca que ca m'étonne et c est ca que je comprends pas.

Bon tu as ( x² ( x² + 6x + 9 ) ) / ( x² + 3x + 3 ) ²
le dénominateur est un carré donc strictement positif, on a vu qu'il ne s'annulait jamais.
le produit au numérateur est le produit d'un nombre positif ou nul (x²) avec un trinome egalement positif ou nul (en -3)
La fonction f'(x) est donc positive et s'annule en 0 et -3
Tu en conclus que la fonction f(x) est strictement croissante !

Citation
j ai jamais rencontré de tableau de variation où il n'y avait pas de changement entre les racines

C'est sûr, ici il n'y pas pas des racines pour x² + 6x + 9 mais une racine

donc x² + 6x + 9 peut difficilement changer de signe !

ouai mais c est pas la seule racine car il y a le x² en facteur donc il y a aussi 0 non ?

Oui $x^2$ s'annule en 0 mais ne change pas de signe

et x² + 6x + 9 s'annule en -3 mais ne change pas de signe

Donc la fonction est croissante sur $D_f$ elle n'a donc ni maximum ni minimum.

Tu viens donc de découvrir sans la savoir qu'une fonction admet un maximum ou un minimum en a si la dérivée s'annule en a en changeant de signe ...
Bon ce n'est pas au programme du lycée mais si tu as compris cela tu seras plus intelligent ce soir

donc dans le tableau de variation j ai comme flèche trois fléches croissantes c'est ca ?

Bin vu que f '(x) est positif pour tout x de $D_f$ tu as un tableau où dans le signe de f '(x) il va n'y avoir que de +

donc ce que tu dois mettre dans le sens de variation de f il ne va y avoir que des flèches qui montent

ok et sinon comment précise t-on les tangents à cf qui dont parallèles a l'axe des abscisses, je remplace dans la formule d une equation de tangente par f ' (-3) et f ' (0) ?

Tu peux le dire puisque tu t'en es rendu compte ! cela serait bâlo de ne pas le dire

Tu as en effet remarqué que f '(0) = 0 et f' (-3) = 0 il y a donc 2 tangentes horizontales

ben oui lol j ai quand même cherché moi aussi, seulement je sais pas comment expliquer pourquoi je remplace par ces valeurs. Je l'ai un peu fait au feelling, vous auriez une explication concrete, un truc que je pourré ecrire en redigeant l exercice ?

Non je ne ferai pas la rédaction pas à ta place : tu relis les conseils déjà donnés

1ère ligne x : de -∞ à +∞

2ème ligne : signe de f '(x) : ? ? ? ?

3ème ligne : variation de f = des flèches dans quel sens ?

d'accord on oublie la rédaction mais le lien entre tangente et tableau de variation de je ne le vois pas

Eh bien relis ton cours ! tu dois y avoir la réponse (dans tes notes ou dans ton livre ... cherche bien il y a une relation entre le coefficient directeur de la tangente et le nombre dérivé quelque part) et pose toi la question : quel est le coefficient d'une droite // à l'axe des abscisses

pour la question 5 je suis supposé trouver - 3 / 2 et je trouve pas - 3 / 2
pouvez vous me corriger et detaillez aussi,

je découpe le calcul

(-3x/2 - x)^3 / ( (-3x/2-x)² + 3(-3x/2-x) + 3 )
(-9/8 + 27/4 + 9/2x² - x^3) / (9/4 + 3x + x² - 9/2 - 3x + 3)
(-9/8 + 27/4 + 9/2x² - x^3)/ ( 1/4 + x² )

(-3x/2 + x)^3 / ( (-3x/2+x)² + 3(-3x/2+x) + 3 )
(-9/8 - 27/4 - 9/2x² + x^3) / (9/4 - 3x + x² - 9/2 + 3x + 3)
(-9/8 - 27/4 - 9/2x² + x^3)/ ( 1/4 + x² )

en les additionnant j ai :
(-9/8 + 27/4 + 9/2x² - x^3) + (-9/8 - 27/4 - 9/2x² + x^3)/ ( 1/4x² )
( - 18/8 ) / ( 1/4 + x² )
(- 18/8 ) x ( 1 / ( 1/4 + x² ) )

18 / 8x + 2
9 / 4x + 1