Calculs à l'aide du centre de gravité et produit scalaire

[MuChy]

Bonjour voila j'ai un exercice a faire et j'ai beau chercher je n'arrive pas a trouver de solution alors si quelqu'un pouvait m'aider se serait très gentille :

On considère un triangle ABC dont on note G le centre de gravité, et A', B', C' les milieux des cotés [BC], [CA], [AB]

On pose également a = BC, b = CA et c = AB

1. Etablir que GB² + GC² = 1/9 ( b² + c² + 4a² )
2. En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c pour que les médianes de ABC issues de B et de C soient orthogonales.
3. Trouver et construire un triangle non aplati ayant des cotés de longueur entière et deux medianes orthogonales.

Voila je m'arrache les cheveux la dessus.Merci d'avance

[Jeet-chris]

Salut.

1. J'ai trouvé une manière de résoudre la question en utilisant le théorème de la médiane. Regarde donc de ce côté là.

@+

[MuChy]

Oui j'ai déja essayé mais je n'ai pas réussi a tomber sur le bon résultat

[Zorro]

Théorème de la médiande dans ABC :

$A{B}^2$ + $A{C}^2$ = 2AA'${}^2$ + $a^2$/2

donc 2AA'${}^2$ = $A{B}^2$ + $A{C}^2$ - $a^2$/2 = $c^2$ + $b^2$ - $a^2$/2

Théorème de la médiande dans GBC :

$G{B}^2$ + $G{C}^2$ = 2GA'${}^2$ + $a^2$/2

Or le centre de gravité est placé de façon que GA'${}^{\to }$ = (1/3) AA'${}^{\to }$

donc GA'${}^2$ = (1/9) AA'${}^2$

Donc $G{B}^2$ + $G{C}^2$ = (1/9) * 2AA'${}^2$ + $a^2$/2

Il ne reste plus qu à remplacer 2AA'${}^2$ par ce qu'on a trouvé + haut ....

[Zorro]

Pour que les médianes issues de B et C soient orthogonales, il faut que GBC soit rectangle en G ... Donc Pythagore ....

[MuChy]

merci beaucoup pour la première question pour la deuxième je vois ce qu'il faut faire.
Pour que les medianes issue de B et de C soient orthogonales, il faut que le triangle GBC soit rectangle en G.
GB² + GC² = a²
1/9 ( b² + c² + 4a² ) = a ²
b² + c² - 5a² = 0
Mais par contre je ne vois pas comment faire pour la troisième

[Zorro]

Il faut donc que b² + c² - 5a² = 0 soit 5a² = b² + c²

Soit a² = (b² + c²)/5 et il faut que a , b et c soient des entiers ... donc il faut trouver des entiers b et c qui vérifient (b² + c²)/5 est un entier !

Tu peux t'aider d'un tableau Excel pour en trouver !

[MuChy]

Mais dans ce cas il peut y avoir plusieurs réponses

[Zorro]

Et oui !!! il y en a plusieurs !!!

par exemple a=1 b=1 et c=2 fonctionnent mais ces dimensions donnent un triangle plat puisque la longueur du plus grand côté n'est pas srtictement inférieur à la somme des 2 autres ...

Il y a aussi 30 , 12 et 66 qui ne conviennent pas

Par contre 13 ; 19 et 22 conviennent ...
Et 17 ; 22 et 31 aussi

[MuChy]

ok merci beaucoup pour ton aide maintenan je vé faire un autre exercice

[Zorro]

De rien ...

La prochaine fois essaye de faire moins de fautes d'orthographe

maintenant .... je vais(é) faire

2 fautes par ligne c'est plus que ce qu'un prof admettra dans ta prochaine copie (quelle que soit la matière) !

[MuChy]

ok je ferais attention la prochaine fois