produit scalaire



  • Bonjour voila j'ai un exercice a faire et j'ai beau chercher je n'arrive pas a trouver de solution alors si quelqu'un pouvait m'aider se serait très gentille :

    On considère un triangle ABC dont on note G le centre de gravité, et A', B', C' les milieux des cotés [BC], [CA], [AB]

    On pose également a = BC, b = CA et c = AB

    1. Etablir que GB² + GC² = 1/9 ( b² + c² + 4a² )
    2. En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c pour que les médianes de ABC issues de B et de C soient orthogonales.
    3. Trouver et construire un triangle non aplati ayant des cotés de longueur entière et deux medianes orthogonales.

    Voila je m'arrache les cheveux la dessus.Merci d'avance


  • Modérateurs

    Salut.

    1. J'ai trouvé une manière de résoudre la question en utilisant le théorème de la médiane. Regarde donc de ce côté là. 😄

    @+



  • Oui j'ai déja essayé mais je n'ai pas réussi a tomber sur le bon résultat



  • Théorème de la médiande dans ABC :

    AB2AB^2 + AC2AC^2 = 2AA'2^2 + a2a^2/2

    donc 2AA'2^2 = AB2AB^2 + AC2AC^2 - a2a^2/2 = c2c^2 + b2b^2 - a2a^2/2

    Théorème de la médiande dans GBC :

    GB2GB^2 + GC2GC^2 = 2GA'2^2 + a2a^2/2

    Or le centre de gravité est placé de façon que GA'^\rightarrow = (1/3) AA'^\rightarrow

    donc GA'2^2 = (1/9) AA'2^2

    Donc GB2GB^2 + GC2GC^2 = (1/9) * 2AA'2^2 + a2a^2/2

    Il ne reste plus qu à remplacer 2AA'2^2 par ce qu'on a trouvé + haut ....



  • Pour que les médianes issues de B et C soient orthogonales, il faut que GBC soit rectangle en G ... Donc Pythagore ....



  • merci beaucoup pour la première question pour la deuxième je vois ce qu'il faut faire.
    Pour que les medianes issue de B et de C soient orthogonales, il faut que le triangle GBC soit rectangle en G.
    GB² + GC² = a²
    1/9 ( b² + c² + 4a² ) = a ²
    b² + c² - 5a² = 0
    Mais par contre je ne vois pas comment faire pour la troisième



  • Il faut donc que b² + c² - 5a² = 0 soit 5a² = b² + c²

    Soit a² = (b² + c²)/5 et il faut que a , b et c soient des entiers ... donc il faut trouver des entiers b et c qui vérifient (b² + c²)/5 est un entier !

    Tu peux t'aider d'un tableau Excel pour en trouver !



  • Mais dans ce cas il peut y avoir plusieurs réponses



  • Et oui !!! il y en a plusieurs !!!

    par exemple a=1 b=1 et c=2 fonctionnent mais ces dimensions donnent un triangle plat puisque la longueur du plus grand côté n'est pas srtictement inférieur à la somme des 2 autres ...

    Il y a aussi 30 , 12 et 66 qui ne conviennent pas

    Par contre 13 ; 19 et 22 conviennent ...
    Et 17 ; 22 et 31 aussi



  • ok merci beaucoup pour ton aide maintenan je vé faire un autre exercice



  • De rien ...

    La prochaine fois essaye de faire moins de fautes d'orthographe 😉

    maintenant .... je vais(é) faire

    2 fautes par ligne c'est plus que ce qu'un prof admettra dans ta prochaine copie (quelle que soit la matière) ! 😉



  • ok je ferais attention la prochaine fois


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