Démontrer qu'une suite est géométrique et préciser son terme général


  • M

    Bonjour, j'ai un petit soucis sur une question.
    La voici: on considère la suite (Vn(V_n(Vn) définie par VVV_n=1/(Un=1/(U_n=1/(Un-1/2)
    Démontrer que (Vn(V_n(Vn) est une suite géométrique et précisez le terme général pour le calcul de VnV_nVn

    J'ai Un+1U_{n+1}Un+1= (5U(5U(5U_n−1)/(4Un-1)/(4U_n1)/(4Un+1)

    Alors je sais qu'il faut calculer Vn+1V_{n+1}Vn+1 pour avoir o final Q∗VnQ*V_nQVn

    Donc j'arrive à un endroit où je ne sais plus quoi faire, voici ce que j'ai fait:
    Vn+1V_{n+1}Vn+1= 1/(8Un1/(8Un1/(8Unn2/Un2/U_n2/Un-2) (j'ai mis sous le meme denominateur en bas)
    donc VVV
    {n+1}=(8U=(8U=(8U_n+2)/(Un+2)/(U_n+2)/(Un-2)
    Si j'ai bien fait jusqu'ici mon calcul, il faidrai que j'ai au numérateur x∗(5Unx*(5U_nx(5Un-1) et au denominateur y∗4Uny*4U_ny4Un+1
    Mais à vrai dire, je ne vois pas du tous comment faire
    Pouvez vous m'aider s'il vous plait

    merci d'avance


  • Zorro

    Bonjour et bienvenue sur ce forum,

    Pour qu'on comprenne bien ton énoncé il faut qu'on puisse faire la différence entre

    Un+1U_{n+1}Un+1 et UnU_nUn + 1

    Pour cela il faut utiliser, les indices que tu touveras grâce aux boutons sous le cadre de saisie. Il suffit de mettre les exposants entre les "balises" [ sub] [ /sub] qui vont apparaître.
    Par exemple pour obtenir UnU_nUn il suffit d'écrire n entre les balises soit U[ sub]n[ /sub] sans les espaces.
    Et n'oublie pas de faire un aperçu avant d'envoyer pour vérifier que ce que tu vas poster est correctement écrit.


  • Zorro

    Tu as un bouton "Modifier" sous le cadre de ton premier message ... Tu as le droit de l'utiliser pour nous faire comprendre ce que tu as fait et ce qu'on doit piger ici !


  • Zorro

    Pour Vn+1V_{n+1}Vn+1 je trouve Vn+1V_{n+1}Vn+1 = (8u(8u(8u_n+2)/(−6un+2)/(-6u_n+2)/(6un-3) ...

    Mais il se peut que je fasse une erreur de calcul !!


  • Zorro

    Désolée je ne vois pas mon erreur de calcul ... et il faut que je me déconnecte ! Bonne nuit


  • M

    et bien pourtant:
    Vn+1V_{n+1}Vn+1= 1/ (5u(5u(5un−1)/4un-1)/4u_n1)/4un+1 -1/2)
    donc V</em>n+1V</em>{n+1}V</em>n+1=1/ (1/2∗4un(1/2*4u_n(1/24un+1 -1/2 * 4Un4U_n4Un+1 / 4un4u_n4un+1)
    donc VVV_{n+1}=8Un=8U_n=8Un+2 / UnU_nUn-2

    Je ne vois pas non plus mon erreur


  • Zorro

    On a bien

    un+1,=,5un,−,14un,+,1u_{n+1}, =, \frac{5u_n, -, 1}{4u_n,+,1}un+1,=,4un,+,15un,,1

    vn,=,1un,−,12v_{n}, =, \frac{1}{u_n,-,\frac{1}{2}}vn,=,un,,211

    vn+1,=,1un+1,−,12v_{n+1}, =, \frac{1}{u_{n+1},-,\frac{1}{2}}vn+1,=,un+1,,211

    On va donc calculer

    un+1,−,12,=,5un,−,14un,+,1,−,12,=,2(5un,−,1),−,(4un,+,1)2(4un,+,1),=,6un,−,38un,+,2u_{n+1},-, \frac{1}{2} , =, \frac{5u_n, -, 1}{4u_n,+,1},-,\frac{1}{2} , =, \frac{2(5u_n, -, 1), -,(4u_n,+,1)}{2(4u_n,+,1)},=,\frac{6u_n, -, 3}{8u_n,+,2}un+1,,21,=,4un,+,15un,,1,,21,=,2(4un,+,1)2(5un,,1),,(4un,+,1),=,8un,+,26un,,3

    donc vn+1,=,8un,+,26un,−,3v_{n+1}, =, \frac{8u_n,+,2}{6u_n, -, 3}vn+1,=,6un,,38un,+,2

    L'énoncé tel qu'il est écrit est il vraiment le bon ?


  • M

    oui c'est bien ça! merci, mais la question est de faire Vn+1V_{n+1}Vn+1 en fonction de VnV_nVn
    donc a partir de vn+1v_{n+1}vn+1= 8Un8U_n8Un+2 / 6un6u_n6un- 3 il faut trouv X∗(5UX*(5UX(5U_n−3/4Un-3/4U_n3/4Un+1
    Et c'est bein là que je bloque
    pouvez vous m'aidez?


  • Zorro

    Non il faut montrer qu'il existe un réel k tel que

    vn+1,=,kvnv_ {n+1},=, kv_ {n}vn+1,=,kvn donc qu'il existe un reel k tel que

    8un,+,26un,−,3,,=,k,1un,−,12,\frac{8u_n, + ,2}{6u_n, - ,3,},=, k, \frac{1}{u_n,-, \frac{1}{2,}}6un,,3,8un,+,2,=,k,un,,2,11

    et là je ne trouve pas !


  • Zorro

    on a bien au dénominateur

    6,un,−,3,=,6,(un,−,12)6 ,u_n ,- , 3 , = ,6 ,(u_n ,- , \frac{1}{2})6,un,,3,=,6,(un,,21) mais le numérateur me gène


  • Zorro

    Ca ne serait pas plutôt "Démontrer que la suite (Vn(V_n(Vn) est arithmétique" ( à la place de géométrique !) ?

    Parce que moi je la trouve arithmétique la suite (Vn(V_n(Vn) !


  • M

    Oui, je suis désolé, je me suis trompé de ligne en lisant la question!
    Il me semblai bien que c'était pas comme j'avais apris
    donc je trouve VVV_{n+1}=(5un=(5u_n=(5un-1 / 4un4u_n4un+1) + (3un(3u_n(3un+3 / 2un2u_n2un-4)
    est ce bien cela?


  • Zorro

    Cela me semble bien étrange comme résultat !!! Cela ne ressemble en rien à la solution que je te donnais hier à 11h07 pour Vn+1V_{n+1}Vn+1 !!

    Avec la bonne expression de Vn+1V_{n+1}Vn+1 il suffit de calculer Vn+1V_{n+1}Vn+1 - VnV_nVn
    et de trouver une constante pour prouver que (Vn(V_n(Vn) est arithmétique !

    C'est en principe faisable à ton niveau.


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