Fonctions



  • Bonjour,
    J'ai un exercice sur les fonctions mais je n'arrive pas vraiment à m'en sortir, j'ai fait quelques questions mais ... Et celles que je ne trouve pas m'empêchent de faire les suivantes donc je suis bloquée.

    Partie I:

    On note g la fonction définie sur mathbbRmathbb{R} par g(x) = 2x32x^3 + x - 2

    1.Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.

    2.a.Calculer g(0) et g(1).
    b.En déduire que l'équation g(x) = 0 admet dans [0;1] une unique solution α.
    c.A l'aide la calculatrice , donner une valeur approchée de α à 10110^{-1} près.

    Partie II:

    Dans un repère orthonormal (O; ii^\rightarrow ; jj^\rightarrow), on note la parabole P d'équation y = x² et A le point de coordonnées (2;0). M est un point quelconque de P d'abscisse x. Le but de cette partie est de prouver que la distance AM est minimale lorsque la droite (AM) ⊥ à la tangente en M à P et seulement dans ce cas.

    1.Démontrer que AM² = x4x^4 + x² -4x +4.

    2.On note f la fonction définie sur mathbbRmathbb{R} par f(x) = x4x^4 + x² - 4x + 4.
    a.Vérifier que f'(x) = 2g(x) et dresser le tableau de variations de f.
    b. Déduire que "AM est minimal" équivaut à "x = α" avec 2α3^3 + α - 2 =0.

    3.On note Mo le point de coordonnées (α; α²).
    a.Vérifier que la tangente en Mo à P a pour équation y = 2 α x - α².
    b. Donner un vecteur directeur ^\rightarrowu de cette tangente.
    c.Calculer ^\rightarrowu.^\rightarrowAMo. Conclure.

    Dans la partie I, j'ai fait:

    1. g(x) = 2x32x^3 + x - 2
      g'(x) = 6x² + 1 donc 6x² + 1 > 0
      Donc g' est toujours positive, donc g est croissante.

    2.a. g(0) = -2 et g(1) = 1
    b. 2x32x^3 + x - 2 = 0 là je sèche donc après ça bloque.

    Pour la partie II:

    1. je ne sais pas comment y arriver.

    2.a. f(x)=x4f(x)=x^4 + x² - 4x + 4
    f'(x) = 4x34x^3 + 2x - 4 = 2 ( 2x32x^3 + x - 2) = 2 g(x).
    b. je n'ai pas trouvé α avant donc tout bloque ensuite.

    Pouvez vous m'aider ? Merci


  • Modérateurs

    Salut.

    I.2.b) En fait on ne te demande pas de résoudre l'équation, mais juste de démontrer que g a bien une racine sur [0;1]. C'est d'ailleurs pour cela qu'à la question suivante on te demande une valeur approchée. As-tu vu le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) ?

    II.1) Tu connais les coordonnées de A(2;0) et celles de M(x;x²). Comment fais-tu pour calculer la distance AM avec ces données ? 😄

    II.2.b) Ne pas connaître la valeur de α ne change rien vu que tu n'es pas censée la connaître précisément. En fait il suffit de comprendre ce que tu as fait aux questions précédentes pour pouvoir répondre. Tu sais que f représente le carré de la distance AM. Donc AM est minimal quand f est minimale, d'accord ? Et d'après les variations de f, on peut en conclure que ?

    A part cela tout ce que tu as déjà fait est bon. 😉

    @+



  • Non je n'ai pas vu ce théorème ! Et je ne sais pas comment le prouver.
    Sinon pour AM je crois que c'est AM = √(xM - xA)² + (yM-yA)². Mais sur ma calculatrice je vois que f est décroissante et croissante mais je n'arrive pas à prouver que f'(x) est d'abord négative puis positive. Pourrais-tu me donner un coup de pouce ?
    Merci



  • Bon tu n'as pas vu le théorème des valeurs intermédiaires ! MAis intuitivement tu comprends bien que si
    une fonction g est croissante et continue sur IR
    g(0) < 0
    g(1) > 0

    Il faut qu'il existe un nombre α compris entre 0 et 1 tel que g(α ) = 0 en 1ère S je ne sais pas sur quel théorème tu puisses t'appuyer parce que ce seul qui marche est celui que tu n'as pas vu parce qu'il est au programme des terminales !


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