problème sur les polynômes

Bonjour,
Vu que l'année dernière j'ai eu quelques problèmes en math, je profite des vacances pour essayer de combler mes lacunes en prenant des cours par correspondance.
Dans les devoirs à renvoyer, j'ai un problème avec quelques questions.

ex 1 :

données : - f fonction polynôme

2 réels distincts a et b tels que f(a)=0 et f(b)=0

problème :

démontrer qu'il existe une fonction polynôme g telle que f(x)=(x-a) (x-b) g(x)
avec f(x)= 4x^4-23x²-15x-2 (les racines sont -2 et -0.5), trouver une factorisation de f(x)

ex 2 :

données : - (E): x^4-3x²+1=0

problème : on pose v=x-(1/x)
Montrez que (E) s'écrit x² h(v) = 0 (h fonction polynôme) et en déduire les solutions de (E)

Merci d'avance de votre aide !!!!

Bon pour l'exo 1 ...
tu sais que a et b sont les racines du polynome donc tu peux factoriser f par (x-a) et (x-b) et un autre polynome qui est dans ce cas g(x)

pour la suite on te donne le polynome.. tu sais que les racines sont -2 et -1/2 alors y'a qu'à considerer a = -2 et b = -1/2

hop et tu peux trouver g(x) avec l'identification des coefficients de termes de meme degré sachant que g(x) est de degré 2 ...

wala deja ca devrait t'aider...

Pour l'exercice 2 tu sais que h est de degré 2 (de la forme ax²+bx+c) après je pense qu'il faut faire aussi une identifications des termes... Tu as du faire ca pendant l'année....

Si ca ne t'aide pas suffisemment je repasserai bientot ici

Pour appuyer les raisonnements de kinderette sur l'exo 1, voici quelques tuyaux :
pour montrer que f(x) peut s'ecrire sous la forme (x-a)(x-b)g(x), on peut raisonner ainsi : f(x) ey (x-a) etant deux polynomes, on peut toujours effectuer la division de f(x) par (x-a); ceci nous donne un quotient polynome h(x), ainsi qu'un reste r(x). On a donc f(x) = (x-a)h(x)+r(x). Par ailleurs, en utilisant cette ecriture de f(x), on obtient f(a)=r(x). Or on sait que f(a)=0, donc r(x)=0 et par suite f(x)=(x-a)h(x). Maintenant, toujours en utilisant cette derniere ecriture de f(x), on remarque que f(b)=(b-a)h(b), et on sait que f(b) = 0. D'apres l'enonce, a et b sont differents donc (b-a) n'est pas nul, donc necessairement h(b)=0. Puis on recommence sur h : on divise h(x) par (x-b) et on obtient h(x)=(x-b)g(x)+s(x) et donc h(b)=s(x)=0. Donc finalement h(x)=(x-b)g(x) et f(x)=(x-a)(x-b)g(x). Il s'agit la de la demonstration du fait que si un reel x0 annule un polynome P, alors P est factorisable par (x-x0).

Pour trouover le polynome g(x) dans le cas ou a et b sont connues, sachez qu'il y a une methode tres rapide (paradoxalement peu utilisee), qui s'appelle le schema de Horner; voici le principe :
je prends l'exemple de Sam. On donne f(x) = 4x^4-23x^2-15x-2, on donne les racines a = -2 et b = -1/2.
On commence d'abord par a = -2:
Il faut construire un tableau de 3 lignes et n colonnes ou n est le degre du polynome f (donc ici n vaut 4). La colonne 1 ne contient que le reel a = -2 a la 2eme ligne, les autres cases restent vides. Dans la premiere ligne (a partir de la deuxieme colonne), on met les coefficients du polynome (un coefficient par colonne) en commencant par le plus haut degre et en mettant 0 si le degre correspondant n'est pas represente dans le polynome. Puis on met 0 a la ligne 2 et colonne 2. Dans notre cas ici, la tableau sera :

|----| 4 | 0 | -23 | -15 | -2 |

| -2 | 0 |

|----|

Remarquez le 0 de la ligne 1, colonne 3 (puisque dans f il n'y a pas de terme de degre 3).
Maintenant on va remplir le tableau en suivant la regle suivante :
On se place a colonne 2; on additionne les coefficients des lignes 1 et 2 et on met le resultat sur la meme colonne a la ligne 3, puis on multiplie ce resultat par la racine qui se trouve a la premiere colonne toute seule et on met le resultat a la ligne 2 de la colonne suivante et on se place a cette colonne. Puis on enchaine (addition - multiplication) jusqu'a la derniere colonne. Dans notre cas : on fait 4 + 0 = 4, on met 4 a la ligne 3 de la colonne 2,puis on calcule 4 * -2 = -8 et on met -8 a la ligne 2 de la colonne 3. On se place a la colonne 3. On calcule 0+(-8)=-8 qu'on met a la ligne 3 de la colonne 3, puis -8*-2=16 qu'on met a la ligne 2 de la colonne 4 et on se place a la colonne 4. On recommence : -23+16=-7 qu'on met a la ligne 3 de la colonne 4, puis -7*-2=14, qu'on met ligne 2, colonne 5, et on se place a la colonne 5. -15+14 = -1 qu'on met a la ligne 3, colonne 5,puis -1*-2=2 qu'on met ligne 2, colonne 6. La, c'est la derniere colonne et on s'arrete. Maintenant on fait le bilan des courses :

Si on n'a pas d'erreurs de calcul, les reels qu'on obtient a la derniere colonne (donc aux lignes 1 et 2) doivent etre opposes.
La 3eme ligne du tableau donne les coefficients du polynome quotient de la division de f(x) par (x-a), ce polynome etant bien sur de degre (n-1), n etant le degre de f. Dans notre cas ici, on obtient donc :
f(x) = (x+2)(4x^3-8x^2-7x-1).
Maintenant il faut faire la meme chose avec 4x^3-8x^2-7x-1 et la racine b = -1/2.

L'explication est ptetr verbeuse mais des que la technique est comprise, la methode est nettement plus rapide que la methode d'identification des coefficients. Et surtout, comme je l'ai souligne le schema de Horner aide pour detecter des erreurs de calcul eventuels, ce qui n'est pas le cas de l'autre methode.....
J'espere que c'est clair comme explication, et que plein de gens vont utiliser Horner....

super clair ! merci Jaoira ...