Math fiche - Définition de Vecteur

Définition mathématique d'un vecteur.

Un bipoint (ou une flèche) est un segment orienté. C'est un segment auquel s'ajoute l'information sens. Ainsi pour 2 points A et B, le bipoint (A,B) est différent du bipoint (B,A) car ils n'ont pas le même sens. (respectivement de A vers B et de B vers A).

Une direction est un ensemble de toutes les droites parallèles entre elles.

Un vecteur $AB⃗\vec{AB}$ est défini par :

sa direction : celle de la droite (AB)
son sens : de A vers B
sa norme : la longueur AB

Note :les physiciens ajoutent à ces trois notions définissant un vecteur la notion de point d'application. Pour les physiciens, le vecteur devient donc un objet géométrique fixe, ce que nous appelons un bipoint.

**Lien vers l'Article

Salut, pour moi un vecteur est bien un bi-point donc pas un segment.

En effet pour moi un segment est constitué d'une infinité de points alors qu'un vecteur non.

Il me semble que la phrase :
Citation
Un bipoint (ou une flèche) est un segment orientéest un abus de langage que je ne crois pas très rigoureux. Mais cela n'engage que moi et laisse la porte ouverte à toutes les discussions.

En fait, pour continuer cette discussion intéressante, je pense que l'idée de "segment orienté" n'a rien a voir à celle de "segment".
Mais cette idée de "segment orienté" est intéressante car elle regroupe l'idée de direction, de sens et de norme
A voir...

Je crois qu'on ne peut pas être d'accord avec ma définition de direction et dire qu'un vecteur est un bipoint.
J'ai trouvé une page http://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur qui reprend toutes nos contradictions dans un contexte historique. Elle distingue les vecteurs liés, *glissants *et libres.
Citation
on définit au préalable les bipoints comme des couples de points du plan ou de l'espace. L’ordre des points a donc une importance : le premier est appelé origine du bipoint. Deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents lorsque ABDC est un parallélogramme. La relation d'équipollence constitue une relation d'équivalence sur les bipoints.

À un bipoint (A,B) est associé sa classe d'équivalence, c'est-à-dire l'ensemble de tous les bipoints qui lui sont équipollents. Cet ensemble est appelé le vecteur $AB⃗\vec{AB}$ , et le bipoint (A,B) en est un représentant. Réciproquement, tout vecteur admet plusieurs bipoints représentants, dont aucun n'est privilégié. Il existe en fait un unique représentant d'origine donnée.
Wikipedia ne fait pas autorité mais cet extrait conforte la définition que j'ai donné. Par contre c'est probablement un abus de langage de décrire un bipoint comme un segment, fut-il orienté. Il vaut mieux se contenter de dire un couple de points.

Bonjour à tous.
Je ressors ce "vieux" topic car le problème posé n'est pas des moindres, que ce soit d'un point de vue théorique ou d'un point de vue pédagogique.
Le vocable "segment orienté" peut être considéré comme un abus de langage, facilement identifiable.
Pour moi, le problème est tout autre.
Je ne dirai pas, comme Zorro, qu'un vecteur est un bipoint, d'autant plus que les élèves ont du mal à distinguer entre les deux (la question est récurrente sur le forum).
En fait, l'équipollence des bipoints est une relation d'équivalence, et un vecteur est une classe d'équivalence pour cette relation.
Seulement, quand on a dit cela, on a à la fois tout dit et rien dit.
Déjà, commencer par définir la relation d'équipollence consiste en un choix qui n'est pas anodin : parallélogrammes (quid des parallélogrammes "aplatis" ?), segments ayant le même milieu (démonstration du fait que l'équipollence est une relation d'équivalence ?). Attention : les cercles vicieux sont à l'affut (caractérisation des parallélogrammes, propriétés plus ou moins admises des symétries centrales, projection du milieu, et j'en passe.
Ainsi, pour reprendre la définition de Thierry dans les Math-fiches, j'arrive difficilement à définir les deux sens sur une droite (je parle de la géométrie élémentaire, pas de la géométrie algébrique, bien que je sois convaincu qu'on ne pourra pas en faire l'économie). Mais quid de deux bipoints (non réduits à un seul point) de même sens ?
J'arrête là (pour le moment) mes questions, attendant les interlocuteurs, voire les contradicteurs.
A bientôt dans l'espoir d'une réponse...

Bonsoir,

Le sens ne peut avoir de signification que si la direction est définie. Chaque direction possède 2 sens.

Mais je ne sais pas si c'était ta question ?

Pour moi , un vecteur $AB⃗\vec{AB}$ est assimilable à un déplacement du point A vers le point B

Mais mon interprétation a le droit de ne pas être partagée !

C'est bien l'idée de *mouvement *que je donne à mes élèves. Le programme de seconde demande de le définir comme une translation. Le problème c'est que les élèves de seconde ne savent plus ce qu'est une translation...

Et dans ce déplacement, il y a une direction , un sens et une longueur et rien d'autre !

Mais mon interprétation a le droit de ne pas être partagée !

Citation
Le problème c'est que les élèves de seconde ne savent plus ce qu'est une translation...

Normal , une translation n'est qu'un truc pervers de matheux ...

Parle leur de déplacement ..

Tu leur fais sur un quadrillage avec les points nommés ...

Tu leur demande :

tu pars de ... tu veux arriver à .. tu fais quel déplacement ?

Bonne continuation

Je ne suis pas convaincue d'avoir le vérité mais cela a marché pour certains de mes élèves

Bonjour Thierry.
Citation
Le sens ne peut avoir de signification que si la direction est définie. Chaque direction possède 2 sens.

Mais je ne sais pas si c'était ta question ?Ma question est d'ordre théorique car si on veut "faire des Maths", on ne peut pas se contenter d'observer un dessin.
Je précise : comment définis-tu deux bipoints de même sens ?

Bonjour Zorro.
Ne prends pas mal mes questionnements. Mon but est de chercher (je n'ai pas encore trouvé) un cheminement cohérent pour cette notion qui n'est pas des plus simples en géométrie élémentaire (celle d'Euclide). Elle est en revanche évidente en géométrie algébrique. Je remarque d'ailleurs que tu ne crains pas d'utiliser des quadrillages (autrement dit un repérage du plan).
Le terme déplacement est plus général que celui de translation : il fait appel à la métrique (alors que la notion de vecteur est purement affine). Les rotations et les symétries centrales sont des déplacements, la symétrie axiale est un antidéplacement.
Il me parait difficile d'écarter les translations qui sont à la base de la notion d'espace affine.
Mais j'admets que les constants remaniements des programmes rendent la tâche difficile et ne sont pas pour rien dans les difficultés rencontrées par les élèves.

Bonjour à tous ,

Quelques réflexions, mais étant à la retraite depuis longtemps, je me suis pas heurtée à l’introduction « version actuelle » des vecteurs !
Evidemment, on truande maintenant beaucoup d’éléments mathématiques sous-jacents…

D’aprèsce que j’ai lu, comme l’indique Thierry, en Seconde, on définit la notion de vecteur à partir de celle de translation .

Alors, comment définit-on une translation maintenant ?

A et B étant donnés ( on ne s’attarde pas particulièrement sur le cas où A et B sont confondus…), à tout point M (du plan ou de l’espace) on associe par la translation T qui transforme A en B, l’unique point M’ tel que [AM’] et [BM] ont même milieu . M’=T(M)
Conséquence : pour construire M’, on peut tracer le parallélogramme ABM’M (éventuellement aplati)

Ensuite, pour parler « Vecteur »:

Soit deux points A et B et D l’image d’un point quelconque C (du plan ou de l’espace) par la translation T qui transforme A en B : D=T(C)

Les points A et B pris dans cet ordre, et les points C et D pris dans cet ordre, représentent le même vecteur $\text{\vec{U}$ :

$\text{\vec{U}=\vec{AB}=\vec{CD}$

On explique tout de même qu’il y a une infinité de façons de représenter le vecteur $\text{\vec{U}$ car on peut le tracer en chaque point C (du plan ou de l’espace).

Notation alors précisée : T s’appelle translation de vecteur $\text{ \vec{U}$

On est censé indiquer le cas particulier :$\text{ \vec{AA}=\vec{0}$ appelé vecteur nul.

Le propriétés usuelles arrivent ensuite.

*J’ignore si cette méthode « parle » aux élèves. Je ne l’ai pas pratiquée…

Toute information complémentaire sera la bienvenue.
*

Personnellement, j’en reste à ladéfinition classique de vecteur, qui ne pourrait pas s’enseigner en Lycée actuellement, vu que les notions de relation d’équivalence, classes d’équivalence, ensemble quotient, sont reléguées à l’enseignement supérieur.

L’auditoire et les programmes ont changé…

Voici quelques définitions passées…pour ceux qui auront le courage ( ou l'envie ) de lire…

Soit P : ensemble des points (du plan ou de l’espace)

P x P=P²: ensemble des bipoints (couples composés de 2 points distincts ou confondus)

Un bipoint de type (A,A) s’appellebipoint-nul

Equipollence de deux bipoints :

$\text{(A,B)\sim (C,D)$ < = > [AD] et [BC] ont même milieu.

Propriété : Tous les bipoints-nuls sont équipollents entre eux

Dans le cas desbipoints non nuls, on peut définir direction, sens

(A,B) et (C,D) ontmême direction <=> (AB) //(CD) (au sens large)

(A,B) et (C,D)
ayant même directionsontde même sens <=> ABDC est un trapèze convexe éventuellement aplati…)

Pour tout bipoint ( non-nul ou nul), lalongueur d’un bipoint (A,B) est la longueur du segment [AB], notée AB

Propriété usuelle : on peut démontrer que deux bipoints non nuls sont équipollents si et seulement si ils ont même direction, même sens, même longueur.

La relation d’équipollence est une relation d’équivalence dans P² (réflexive, symétrique, transitive)
(pour le prouver, on peut distinguer les cas des bipoints non nuls et le cas des bipoints nuls)

P² se partitionne donc enclasses d’équivalence, qui constituent l’ensemble quotient de P² par $∼\sim$

Chaque classe d’équivalence s’appelle un vecteur

$AB⃗\vec{AB}$ est la classe d’équivalence du bipoint (A,B) ; elle est constituée de tous les bipoints équipollents à (A,B)

Chacun de ces bipoints est unreprésentantdu vecteur$\text{ \vec{AB}$

$\text{(A,B)\sim (C,D) \Leftrightarrow \vec{AB}=\vec{CD}$

L’ensemble de tous les bipoints-nuls (donc équipollents entre eux) s’appellevecteur nul noté $\text{\vec{0}$

ça, c'était avant...

Bonjour Mtschoon

Mon questionnement est théorique .
Pourquoi ? Et bien je vais vous le dire (phrase connue ...)
J'estime (sans doute suis-je trop exigeant) qu'un professeur, bien qu'il ne parle évidemment pas à ses élèves de notions hors programme ou trop compliquées, se doit d'avoir présentes à l'esprit les notions fondamentales qui sous-tendent la notion qu'il présente aux élèves.
Ici, il s'agit de la notion de plan affine sur l'espace vectoriel des réels.
En conséquence, il est tout à fait équivalent de partir de la notion de translations que l'on compose, que de partir de l'addition des vecteurs.
Encore faut-il savoir ce qu'est un vecteur, non pas de R², mais du plan usuel.
S'agissant de géométrie affine (et non métrique), je souhaite m'affranchir au maximum de la notion de distance, perpendicularité, angle,..
Je réfléchis moi aussi à la question, conscient que je ne dispose pas de la science infuse. Et j'essaie au maximum d'éviter les cercles vicieux : il y a un prix à payer : j'en suis déjà à 5 axiomes (en plus de ceux d'Euclide), et ce n'est pas fini.

Mais foin de baratin :
Citation
A et B étant donnés ( on ne s’attarde pas particulièrement sur le cas où A et B sont confondus…), à tout point M (du plan ou de l’espace) on associe par la translation T qui transforme A en B, l’unique point M’ tel que [AM’] et [BM] ont même milieu . M’=T(M)
Conséquence : pour construire M’, on peut tracer le parallélogramme ABM’M (éventuellement aplati)
Comment définis-tu le milieu de deux points ? Et comment montres-tu que M' ne dépend pas du choix de A et B ? Autrement dit, obtiendras-tu le même point M' en utilisant deux autres points C et D définissant la même translation ?

Bonjour Mathtous.

Je n'ai vraiment pas "creusé" !

Seulement une citation de wikipédia :
Citation
L'ensemble des points du plan équidistants de deux points A et B constitue la médiatrice du segment [AB]. Le milieu du segment [AB] peut donc être défini comme l'intersection de la droite (AB) avec la médiatrice du segment [AB]. Cette définition est intéressante, car elle permet de placer le milieu du segment [AB] par une construction à la règle et au compas.

Et pour la définition actuelle de "translation" , je me suis contentée de lire le programme officiel de seconde(de 2009 d'ailleurs), il y a peut-être plus récent.

Toutes tes réflexions seront les bienvenues !

Bien entendu, mais ta définition du milieu est métrique, pas affine.

Certes !

Tiens nous au courant si tu as mieux.

"Mieux" n'est pas le mot.
Je cherche "plus rigoureux".
Pour le moment, j'hésite entre deux méthodes :

repartir de la géométrie élémentaire en faisant abstractions des notions métriques, au prix de nombreux axiomes.
Atteindre le plus rapidement possible la géométrie vectorielle (coordonnées dans un repère quelconque) au prix d'axiomes moins nombreux mais moins "évidents", et gêné par la méconnaissance que les élèves ont des nombres réels.

C'est là mon questionnement, et non pas, comme j'en ai peut-être maladroitement donné l'impression, une critique stérile de ce que les autres ont fait.

Pas de soucis, Mathtous !

Tu as très bien fait de re-ouvrir ce topic car cela a permis à ceux qui le souhaitaient de s’exprimer sur le sujet.

Evidemment, à la lecture de ton dernier message, les réponses données ne correspondent pas à ton questionnement.

C’est sûr que la connaissance approfondie des nombres réels ne fait pas partie des acquis de collège et lycée.
Si tu t’orientes vers cette voie, tes lecteurs devront être des « lecteurs avertis ».

Pour ma part, j’avoue que partir de la géométrie élémentaire sans géométrie métrique me donne un peu le vertige…mais ce ne doit pas être ton cas.

Alors, bon courage et bonnes réflexions.

Bonjour

On devrait s'en tenir à la définition suivante:

Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel

(et ne rien rajouter à cela)

de la même manière ne rien rajouter à la définition d'un point dans le cadre de la géométrie affine

En géométrie affine, un point est un élément d'un espace affine

À partir de là il reste à définir espace vectoriel et espace affine mais ceci est un autre sujet