exercice sur les vecteurs



  • Salut !

    J'ai un exercice sur les vecteurs a faire pour lundi . Cependant il y a quelques petites bizarries . JE ne sais pas si c'est moi qui a mal traité lexercice ou bien c'est réellement bizarre lOl. voici la figure ci-dessous :

    http://image.netenviesdemariage.com/images/3/690f9037d32604b195becdf8dce82890.jpg

    Voila l'exercice( vec c'est pour vecteurs désolé je ne comprends pas le syteme latex) :

    **ABCD est un carré de côté 1 , ABE et BCF sont 2 triangles équilatéraux.

    1)A votre avis , D,E et F sont-ils alignés ?**
    J'ai repondu qu'ils avaient l'ai alignés .

    2)a. Justifier que ( A;vecAB;vecAD) est un repère orthonormal.
    J'ai justifié cela en disant que l'axe des abscisse apartient au vecAB et l'axe des ordonné appartenait au vecAD comme ABCD est un carré de coté 1 ( donc AD=AB) le pavage est un carré ce qui prouve que le repere est orthonormal.

    b. Donner dans ce repere les coordonnées des points A,B,C,D
    donc A(0;0) B(1;0) C(1;1) D(0;1)

    3**)a. D'apres le codage de la figure que represente (EI) dans le triangle ABE ?**
    (EI) represente la médiatrice issue de E car elle coupe perpendiculairement le côté opposé a ce sommet en I .

    b. Que represente I pour le segment [AB] ?
    I represente le milleu de AB car par définition une médiatrice issu d'un point coupe perpendiculairement le côté opposé a ce point par le millieu de ce côté .

    c. Quelle sont alors les coordonnées de I ? celles de E ?
    Calcul de I millieu de AB :
    xi = xa+xb/2 yi=ya+yb/2
    = 0+1/2 =0+0/2 Donc I (0.5;0)
    =0.5 =0

    Calcul de E :
    Comme (EI) est une médiatrice qui coupe perpendiculairement l'axe des abscisses alor elle est parrelle à l'axe des ordonnés vecAD
    Comme (EI)//AD) alor vecEI est colinéaire à vecDA .
    DOnc on peut utiliser la relation de colinéarité entre ces 2 vecteurs pour la traduire en equation .
    On sait que l'absisse de E est 0.5 puisque la droite passan par E couple | [AB] en I.
    Soit y l'ordonné de E E( 0.5 ; y )
    vecDA(0-0 ; 0-1) vecEI( 0.5-0.5 ; 0-y )
    (0;-1) (0; 0-y )

    Donc xdayei = xeiyda
    0*(0-y)= 0*-1
    Donc y=0 Donc E(0.5;0)

    C'est la que je me dis que c'est bizarre puisque l'ordonné de E à l'air >0 d'apres la figure...

    4. Determiner de meme les coordonnées de F.
    J'ai uitlisé les meme justification que pour E et j'ai dis que vecJF est colinéaire a vecAB .
    Soit x l'abscisse de F
    F(x ;0.5) j'ai calculé les coordoné du milieu J de BC et j'ai trouvé J( 1;0.5 )
    vecAB ( 1-0 ; 0-0) vecJF(x-1 ; 0.5-0.5)
    (1;0) (x-1 ; 0 )

    Donc xabyjf = xjfyab
    1*(x-1)=0*0
    x-1=0
    x=1
    Donc F(1;0.5)
    Sauf que toujours d'apres la figure labcisse de F à l'air > 1 ...

    Voila si quelqu'un pourrait m'aider et m'expliquer sa serait gentil 😁
    Merci :rolling_eyes:


  • Modérateurs

    Salut.

    2.a) Pas besoin de parler des axes des abscisses et des ordonnées dans ta réponse. Il suffit de dire que ces 2 vecteurs sont orthogonaux et qu'ils sont de norme 1 pour répondre à la question. 😄

    3.c) Le plus simple est de raisonner avec des vecteurs : AI^\rightarrow = 1/2 AB^\rightarrow, donc I a pour coordonnées (1/2;0) dans le repère en question.

    Ensuite, AE^\rightarrow = AI^\rightarrow + IE^\rightarrow. On sait que IE^\rightarrow est colinéaire à AD^\rightarrow, donc il ne reste plus qu'à calculer la longueur IE. Peut-être que le fait que ABE soit équilatéral et l'utilisation de Pythagore pourront t'être utiles. 😉

    1. Je te laisse refaire la question.

    @+



  • cOucOu 😉 !

    Merci de m'avoir aider et pour tes précisions et explications !

    Donc j'ai fais ça :
    AE²=AI²+IE²
    1=1/2²+IE
    IE=1-0.25
    IE=√0.75
    IE≈0.9

    Mais je comprends pas comment je peux traduire cela en coordonnées de vecteurs ?? si tu pourrais m'expliquer si tu veux bien :rolling_eyes: ?

    Merci de ton aide 😁 !!



  • Re ,

    Je crois avoir compris : comme l'abscisse de I est 0 et que Ie coupe perpendiculairement l'axe des abscisse alor vecIE ( 0 ; √0.75 ) . Donc E ( 0.5 ;√0.75)
    C'est bien ça ? si tu pourrais m'aidre sur comment justifier cela si ce que j'ai dis est juste :rolling_eyes: !!

    Et pour le point F , donc :
    vecCF= vecJC + vecCF
    CF=BC=1
    1²= 0.5² + CF²
    CF²=1² - 0.5²
    CF=√0.75
    on sait que J est le milleu de BC donc J ( 1;0.5)
    comme (JF) coupe perpendiculairement vecBC qui est egale au vec AD alor JF (√0.75 ; 0 )
    Donc on sait que J(1 ; 0.5 ) Soit F(x ; y )
    JF ( x-1 =√0.75 ; y-0.5 =0 )
    x=1+√0.75 y= 0.5+0
    x≈1.9 y=0.5
    Donc F ( 1.9 ; 0.5 )

    C'est bien cela ?

    Merci de ton aide 😁



  • Et donc pour la 4 :

    Cherchons si vecDE est colinéaire a vec DF :

    Calcul du vecteur DE :
    E ( 0.5 ;√0.75 ) et D(0:1)
    DE ( 0.5- 0 ; √0.75 -1)
    DE ( 0.5 ; √0.75-1)

    Calcul du vecteur DF :
    D (0;1) F (1+√0.75 ; 0.5 )
    DF ( (1+√0.75)- 0 ; 0.5-1 )
    DF ( 1+√0.75 ; -0.5 )

    Si vec DF est colinéaire à vec DE alor on a :
    xdfx_{df} * ydey_{de} = xdex_{de} * ydfy_{df}
    (√0.75-1) * (1+√0.75) = 0.5 * -0.5
    √0.75 + 0.75 - 1 - √0.75 = -0.25
    -0.25=-0.25

    Donc De est colin"aire a DF ce qui signifie que D , E , F sont alignés
    C'est bon ce que j'ai fait si tu veux bien vérifier ? :rolling_eyes:

    Merciiiiiiii 😁


  • Modérateurs

    Salut.

    3.c) Oui, (EI)//(AD), donc les vecteurs EI^\rightarrow et AD^\rightarrow sont colinéaires ! Il ne restait plus qu'à en déduire le facteur de proportionnalité. La longueur EI étant effectivement égale à √(3)/2, alors EI^\rightarrow = √(3)/2 AD^\rightarrow.

    Finalement, AE^\rightarrow = AI^\rightarrow + IE^\rightarrow = 1/2 AB^\rightarrow + √(3)/2 AD^\rightarrow.
    En conclusion, les coordonnées de E sont (1/2;√(3)/2).

    (en passant tu as écrit "l'abscisse de I est 0", c'est bien évidemment son ordonnée qui est nulle vu ce que tu as dit juste après)

    1. Reste donc le point F. On ne va pas s'amuser à refaire les calculs. Il est clair que ABE et CBF sont des triangles identiques (équilatéraux de côté 1), donc IE=JF=√(3)/2.

    Enfin on recommence avec Chasles : AF^\rightarrow = AB^\rightarrow + BJ^\rightarrow + JF^\rightarrow. En remplaçant tout ça on en arrive à AF^\rightarrow = (1+√(3)/2) AB^\rightarrow + 1/2 AD^\rightarrow.

    Les coordonnées de F sont donc (1+√(3)/2;1/2) et c'est bien ce que tu as trouvé.

    Je te fais confiance pour tes calculs de colinéarité. 😁

    @+



  • OK

    Merci pour les precisions je te remercie de m'avoir aider !!!! merci merci

    En faite j'ai peur que les points D , E , F ne sont pas alignés , je trouve bizarre que la premiere question de l'exercice soit : A votre avis , D,E et F sont-ils alignés ? j'ai l'impression que c'est un piège lol enfin je sais pas normalement c'est bon puisque tu m'as tout confirmé 😁

    Merci beaucoup et bonne continuation 😉 !!


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