Résolution de problème de géométrie en utilisant les vecteurs

Salut !

J'ai un exercice sur les vecteurs a faire pour lundi . Cependant il y a quelques petites bizarries . JE ne sais pas si c'est moi qui a mal traité lexercice ou bien c'est réellement bizarre lOl. voici la figure ci-dessous :

Voila l'exercice( vec c'est pour vecteurs désolé je ne comprends pas le syteme latex) :

**ABCD est un carré de côté 1 , ABE et BCF sont 2 triangles équilatéraux.

1)A votre avis , D,E et F sont-ils alignés ?**
J'ai repondu qu'ils avaient l'ai alignés .

2)a. Justifier que ( A;vecAB;vecAD) est un repère orthonormal.
J'ai justifié cela en disant que l'axe des abscisse apartient au vecAB et l'axe des ordonné appartenait au vecAD comme ABCD est un carré de coté 1 ( donc AD=AB) le pavage est un carré ce qui prouve que le repere est orthonormal.

b. Donner dans ce repere les coordonnées des points A,B,C,D
donc A(0;0) B(1;0) C(1;1) D(0;1)

3**)a. D'apres le codage de la figure que represente (EI) dans le triangle ABE ?**
(EI) represente la médiatrice issue de E car elle coupe perpendiculairement le côté opposé a ce sommet en I .

b. Que represente I pour le segment [AB] ?
I represente le milleu de AB car par définition une médiatrice issu d'un point coupe perpendiculairement le côté opposé a ce point par le millieu de ce côté .

c. Quelle sont alors les coordonnées de I ? celles de E ?
Calcul de I millieu de AB :
xi = xa+xb/2 yi=ya+yb/2
= 0+1/2 =0+0/2 Donc I (0.5;0)
=0.5 =0

Calcul de E :
Comme (EI) est une médiatrice qui coupe perpendiculairement l'axe des abscisses alor elle est parrelle à l'axe des ordonnés vecAD
Comme (EI)//AD) alor vecEI est colinéaire à vecDA .
DOnc on peut utiliser la relation de colinéarité entre ces 2 vecteurs pour la traduire en equation .
On sait que l'absisse de E est 0.5 puisque la droite passan par E couple | [AB] en I.
Soit y l'ordonné de E E( 0.5 ; y )
vecDA(0-0 ; 0-1) vecEI( 0.5-0.5 ; 0-y )
(0;-1) (0; 0-y )

Donc xdayei = xeiyda
0*(0-y)= 0*-1
Donc y=0 Donc E(0.5;0)

C'est la que je me dis que c'est bizarre puisque l'ordonné de E à l'air >0 d'apres la figure...

4. Determiner de meme les coordonnées de F.
J'ai uitlisé les meme justification que pour E et j'ai dis que vecJF est colinéaire a vecAB .
Soit x l'abscisse de F
F(x ;0.5) j'ai calculé les coordoné du milieu J de BC et j'ai trouvé J( 1;0.5 )
vecAB ( 1-0 ; 0-0) vecJF(x-1 ; 0.5-0.5)
(1;0) (x-1 ; 0 )

Donc xabyjf = xjfyab
1*(x-1)=0*0
x-1=0
x=1
Donc F(1;0.5)
Sauf que toujours d'apres la figure labcisse de F à l'air > 1 ...

Voila si quelqu'un pourrait m'aider et m'expliquer sa serait gentil
Merci :rolling_eyes:

Salut.

2.a) Pas besoin de parler des axes des abscisses et des ordonnées dans ta réponse. Il suffit de dire que ces 2 vecteurs sont orthogonaux et qu'ils sont de norme 1 pour répondre à la question.

3.c) Le plus simple est de raisonner avec des vecteurs : AI $→^\rightarrow$ = 1/2 AB $→^\rightarrow$ , donc I a pour coordonnées (1/2;0) dans le repère en question.

Ensuite, AE $→^\rightarrow$ = AI $→^\rightarrow$ + IE $→^\rightarrow$ . On sait que IE $→^\rightarrow$ est colinéaire à AD $→^\rightarrow$ , donc il ne reste plus qu'à calculer la longueur IE. Peut-être que le fait que ABE soit équilatéral et l'utilisation de Pythagore pourront t'être utiles.

Je te laisse refaire la question.

@+

cOucOu !

Merci de m'avoir aider et pour tes précisions et explications !

Donc j'ai fais ça :
AE²=AI²+IE²
1=1/2²+IE
IE=1-0.25
IE=√0.75
IE≈0.9

Mais je comprends pas comment je peux traduire cela en coordonnées de vecteurs ?? si tu pourrais m'expliquer si tu veux bien :rolling_eyes: ?

Merci de ton aide !!

Re ,

Je crois avoir compris : comme l'abscisse de I est 0 et que Ie coupe perpendiculairement l'axe des abscisse alor vecIE ( 0 ; √0.75 ) . Donc E ( 0.5 ;√0.75)
C'est bien ça ? si tu pourrais m'aidre sur comment justifier cela si ce que j'ai dis est juste :rolling_eyes: !!

Et pour le point F , donc :
vecCF= vecJC + vecCF
CF=BC=1
1²= 0.5² + CF²
CF²=1² - 0.5²
CF=√0.75
on sait que J est le milleu de BC donc J ( 1;0.5)
comme (JF) coupe perpendiculairement vecBC qui est egale au vec AD alor JF (√0.75 ; 0 )
Donc on sait que J(1 ; 0.5 ) Soit F(x ; y )
JF ( x-1 =√0.75 ; y-0.5 =0 )
x=1+√0.75 y= 0.5+0
x≈1.9 y=0.5
Donc F ( 1.9 ; 0.5 )

C'est bien cela ?

Merci de ton aide

Et donc pour la 4 :

Cherchons si vecDE est colinéaire a vec DF :

Calcul du vecteur DE :
E ( 0.5 ;√0.75 ) et D(0:1)
DE ( 0.5- 0 ; √0.75 -1)
DE ( 0.5 ; √0.75-1)

Calcul du vecteur DF :
D (0;1) F (1+√0.75 ; 0.5 )
DF ( (1+√0.75)- 0 ; 0.5-1 )
DF ( 1+√0.75 ; -0.5 )

Si vec DF est colinéaire à vec DE alor on a :
$x_{df}$ * $y_{de}$ = $x_{de}$ * $y_{df}$
(√0.75-1) * (1+√0.75) = 0.5 * -0.5
√0.75 + 0.75 - 1 - √0.75 = -0.25
-0.25=-0.25

Donc De est colin"aire a DF ce qui signifie que D , E , F sont alignés
C'est bon ce que j'ai fait si tu veux bien vérifier ? :rolling_eyes:

Merciiiiiiii

Salut.

3.c) Oui, (EI)//(AD), donc les vecteurs EI $→^\rightarrow$ et AD $→^\rightarrow$ sont colinéaires ! Il ne restait plus qu'à en déduire le facteur de proportionnalité. La longueur EI étant effectivement égale à √(3)/2, alors EI $→^\rightarrow$ = √(3)/2 AD $→^\rightarrow$ .

Finalement, AE $→^\rightarrow$ = AI $→^\rightarrow$ + IE $→^\rightarrow$ = 1/2 AB $→^\rightarrow$ + √(3)/2 AD $→^\rightarrow$ .
En conclusion, les coordonnées de E sont (1/2;√(3)/2).

(en passant tu as écrit "l'abscisse de I est 0", c'est bien évidemment son ordonnée qui est nulle vu ce que tu as dit juste après)

Reste donc le point F. On ne va pas s'amuser à refaire les calculs. Il est clair que ABE et CBF sont des triangles identiques (équilatéraux de côté 1), donc IE=JF=√(3)/2.

Enfin on recommence avec Chasles : AF $→^\rightarrow$ = AB $→^\rightarrow$ + BJ $→^\rightarrow$ + JF $→^\rightarrow$ . En remplaçant tout ça on en arrive à AF $→^\rightarrow$ = (1+√(3)/2) AB $→^\rightarrow$ + 1/2 AD $→^\rightarrow$ .

Les coordonnées de F sont donc (1+√(3)/2;1/2) et c'est bien ce que tu as trouvé.

Je te fais confiance pour tes calculs de colinéarité.

@+

OK

Merci pour les precisions je te remercie de m'avoir aider !!!! merci merci

En faite j'ai peur que les points D , E , F ne sont pas alignés , je trouve bizarre que la premiere question de l'exercice soit : A votre avis , D,E et F sont-ils alignés ? j'ai l'impression que c'est un piège lol enfin je sais pas normalement c'est bon puisque tu m'as tout confirmé

Merci beaucoup et bonne continuation !!