3. Géométrie dans l'espace, besoin d'une correction d'un exercice personnelle.

Géométrie dans l'espace, besoin d'une correction d'un exercice personnelle.

  • K

    Bonjour !
    J'ai un contrôle Vendredi sur la Géométrie dans l'espace, notamment la section tétraèdre et cube. Or, bien que je sache faire le tout graphiquement, je ne sais pas l'écrire et ne possède pas d'exemple sur mon cahier (En vérité ce que je ne comprend pas c'est lorsque l'on change de face avec la création de point, je ne sais pas trop "comment" l'écrire).
    J'ai alors décidé de faire les exercices de mon cours, me disant que petit à petit, j'arriverai à comprendre et que j'aurai une bonne note à mon contrôle de math vendredi. Mais je ne suis alors pas vraiment sûr de ce que j'ai écris c'est pourquoi j'aimerais bien que vous me le corrigier, surtout sur les points de "rigueur".

    Voilà la figure :

    http://img257.imageshack.us/img257/3938/ttradreyy6.jpg
    On a : ABCD tétraèdre
    I ∈ [BC]
    K ∈ [AC]
    J ∈ [CD]

    1°)Démontrer que les droites (AI) et (JK) ne sont pas sécantes.

    (AI) et (JK) sécantes si et seulement si elles ne sont pas coplanaires
    (AI) et (JK) sont coplainaires si et seulement si :
    {(AI) ⊂ (AIJ)
    {(JK) ⊂ (AIJ) <----- pas sur qu'il faut le mettre, même si ça ne change rien, démontré que faux à la fin
    {K ∈ (AIJ)

    (les { pour dire "et" pour les 3, les conditions sont necessaires et suffisantes)

    • Demontrons alors que K ∉ (AIJ)
      Par l'absurde.

    K ∈ (AIJ) ⇒ (AK) ⊂ (AIJ)
    C ∈ (AK) ⇒ C ∈ (AIJ) ⇒ (CJ) ⊂ (AIJ)
    D ∈ (CJ) ⇒ D ∈ (AIJ)
    I ∈ (AIJ) ⇒ (CI) ⊂ (AIJ)
    B ∈ (CI) ⇒ B ∈ (AIJ)
    A ∈ (AIJ)

    A ∈ (AIJ)}
    B ∈ (AIJ)}
    C ∈ (AIJ)}
    D ∈ (AIJ)}
    ⇒ A, B, C, D sont coplainaires. Or, ABCD est un tétraèdre et donc, 4 points non-coplanaires.
    Contradiction.K ∉ (AIJ)

    ⇒ (AI) et (JK) ne sont pas coplainaire, elles ne sont donc pas sécantes. (Voir au début les conditions pour qu'elles le soient)

    2°) En déduire que les points I, J, K déterminent un plan.

    I, J, K déterminent un plan si et seulement si ils ne sont pas alignés. Or (AI) et ( JK) ne sont pas coplainaire, donc elles ne peuvent pas être sécantes, notamment en I. Donc, I, J, K ne sont pas alignés, ils déterminent donc un plan.

    Voilà c'est tout, si quelqu'un pouvait me le corriger s'il vous plaît, merci beaucoup 🙂 !

    J 1 réponse
  • J

    Salut.

    Je rectifie cette affirmation : "(AI) et (JK) sécantes si et seulement si elles ne sont pas coplanaires".

    J'imagine que tu voulais plutôt écrire : "(AI) et (JK) sécantes si et seulement si elles sont coplanaires"; ou l'opposé, ce qui revient au même.

    Il faut aussi le fait qu'elle ne soient pas parallèles et disjointes, parce que dans ce cas elles seraient coplanaires mais non sécantes.

    1. Déjà je rectifie l'énoncé : il faut de plus que I≠B et I≠C, etc. Parce qu'avec leur définition on pourrait très bien avoir I=K=J=C ou encore I=B, J=D et K=A, et ça tomberait à l'eau. 😁

    Ce que tu as fait est juste. Pour résumer, tu est parti en supposant que K∈(AIJ).

    Comme C∈(AK), C∈(AIJ).

    Alors comme B∈(CI) et D∈(CJ), alors B et D ∈(AIJ).

    En bref, A, B, C et D ∈(AIJ), donc sont coplanaires, ce qui est absurde, vu que ABCD est un tétraèdre. D'où...

    1. C'est bon. 😉

    Juste une remarque sur ta façon de rédiger. C'est un peu long (le problème, c'est que ta première et ta dernière phrase sont les mêmes) ! Je récris la même chose en plus court :

    (AI) et (JK) ne sont pas coplanaires, donc I, J et K ne sont pas alignés. Par conséquent, ils déterminent bien un plan.

    C'est plus court, non ?

    @+

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