Suite intermédiaire



  • Bonjour, j'ai un petit souci avec cet exercice. J'ai commencé à le faire mais ensuite je suis bloquée.

    Une suite u est définie par son terme u0 et la relation de récurrence :
    un+1u_{n+1}= 1/3 unu_n + 2 pour tout n de mathbbNmathbb{N}.

    1. Que peut-on dire de la suite u dans le cas où u0u_0 = 3 ?

    2. On suppose que u0u_0 est différent de 3.
      α étant un nombre réel, on définit une suite v en posant vnv_n = unu_n + α pour tout n de mathbbNmathbb{N}.

    a. Montrer qu'il existe une valeur de α pour laquelle vnv_n est une suite géométrique de raison 1/3.
    Dans la suite de l'exercice, on donne la valeur trouvée à α.

    b. Exprimer vnv_n puis unu_n en fonction de n .

    c. Calculer en fonction de n, la somme
    S = u0u_0 + u1u_1 + ... + unu_n

    J'ai fait:

    1. La suite est constante:
      u1u_1 = 1/3 u0u_0 + 2 = 3
      u2u_2 = 1/3 u1u_1 + 2 = 3 ....

    2. vn+1v_{n+1} = un+1u_{n+1} + α = 1/3 unu_n + 2 + α = 1/3 (un(u_n - α ) + 2 + α = 1/3 unu_n + 2 + 2/3α
      Si vnv_n doit être une suite géométrique, alors 2 + 2/3α = 0 alors α = -3 et donc vn+1v_{n+1} = 1/3 unu_n .

    Mais là je ne sais pas si ce que j'ai fait, tiens vraiment la route !
    Et pour la suite de l'exercice je ne sais pas comment faire.
    Merci.


  • Modérateurs

    Salut.

    1. Effectivement. Je te propose cette petite démonstration.
    • Cherchons les valeurs de unu_n telles que (un(u_n) soit une suite constante, c'est-à-dire telles que pour tout n on ait la relation un+1u_{n+1} = unu_n.

    un+1u_{n+1} = unu_n ⇔ 1/3 unu_n+2 = unu_nunu_n = 3

    • Donc si u0u_0 = 3, (un(u_n) est constante et pour tout n, unu_n = 3.

    2.a) EDIT : ce que j'ai écrit dans cette question est du grand n'importe quoi, donc à ne pas lire.
    Il y a un truc louche dans ta démonstration, je n'arrive pas à comprendre tes calculs. Une fois arrivée là, tu pouvais t'arrêter :

    vn+1v_{n+1} = un+1u_{n+1}+α = 1/3 unu_n+2+α

    Alors effectivement si 2+α = 0, donc si α = -2, la suite est géométrique.

    2.b) Est-ce que tu pourrais me donner les caractéristiques d'une suite géométrique de raison q et de premier terme t0t_0 ? Dans ce cas comment écrire vnv_n ?

    @+



  • Salut!
    v n = q n^n * u0
    v n+1 = v n * q


  • Modérateurs

    Salut.

    2.a) PARDON !!!! Tu avais raison. Je me suis planté comme un gros nul. Ta façon de présenter est un peu maladroit, et donc je n'avais pas compris. Une rédaction un peu plus clair :

    Cherchons α tel que vv_{n+1}=1/3vn=1/3*v_n :

    vv{n+1}=1/3vn=1/3*v_nu</em>n+1u</em>{n+1}=un=u_n

    Et effectivement tout calculs faits, on trouve α=-3. Encore pardon, tu avais bon.

    2.b) Et comme d'après la question précédente "(vn(v_n) est une suite géométrique de raison 1/3", tu en déduis ?

    @+



  • là j'ai du mal à comprendre!
    Comme v <em>n+1<em>{n+1} = 1/3 vnv_n ⇔ u </em>n+1</em>{n+1} + α = u <em>n<em>n + α
    Donc v </em>n+1</em>{n+1} = unu_n + α
    Mais je n'arrive pas à mettre vnv_n et unu_n en fonction de n


  • Modérateurs

    Salut.

    ARGHHH ! Je suis fou ! Je récris proprement et sans faute cette fois :

    vn+1v_{n+1} = 1/3<em>vn1/3<em>v_nun+1u_{n+1}=1/3</em>(un=1/3</em>(u_n+α )
    vn+1v_{n+1} = 1/3<em>vn1/3<em>v_n(1/3</em>un(1/3</em>u_n+2)+α = 1/3(un1/3*(u_n+α )
    vn+1v_{n+1} = 1/3<em>vn1/3<em>v_n ⇔ 2+α = 1/3
    α
    vn+1v_{n+1} = 1/3vn1/3*v_n ⇔ α = -3

    Voilà, merci de m'avoir corrigé. 😁

    @+


  • Modérateurs

    Salut.

    2.b) Tu m'as écrit vnv_n= qq^nv0*v_0, et on sait que la raison q = 1/3. Que veux-tu de plus ?

    Puis vnv_n = unu_n+α, donc unu_n = vnv_n-α, et puis voilà.

    @+



  • Merci mais comment je fais pour exprimer vnv_n et unu_n en fonction de n ?



  • Désolé quand j'ai écrit mon message le tien n'était pas encore affiché !
    Merci !
    Merci !


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