Géométrie dans l'espace - Unique plan P passant par A parallèle a 2 droites non coplanaires...



  • Bonjour, quelqu´un peut m´aider pour un Exercice de Math ?

    Soient D et D´ deux droites non coplanaires et A un point quelconque. Demontrer qu´il existe un unique plan P passant par A et parallèle aux droites D et D´.

    Voilà je ne vois pas comment faire quelqu´un peut m´aider ? Juste une indication pour commencer ?!


  • Modérateurs

    Salut.

    Peut-être en raisonnant sur une base du plan (un plan est entièrement défini par un point et 2 vecteurs non colinéaires). 😄

    @+



  • Bonjour 😄 , pour le point, ce serait A, mais pour les vecteurs... sachant qu'ils faut dire qu'il est unique, les vecteurs ne peuvent pas être issus des 2 droites D et D' non ? Mais dans ce cas là ils viennent d'où ?
    Je suis perdu 😞 😕

    EDIT : Je crois avoir compris, l'inspiration m'est venue dans mon lit... 😁 !

    Corrige moi si je me trompe (s'il te plaît 😄 )

    Soit B et C ∈ à la droite D (B et C distincts)
    Soit E et F ∈ à la droite D' (E et F distincts)
    (j'évite de prendre le point D pour les confusion entre les droites

    Soit G tel que AG (vecteur) = BC (vecteur)
    Soit H tel que HL (vecteur) = EF (vecteur)

    On a le plan (AHG) qui est parallele au deux droites (elles mêmes non coplanaires entre elles) grâce a l'utilisation des deux vecteurs issus des droites, maid commment demontrer qu'il est unique ?


  • Modérateurs

    Salut.

    Allégeons une nouvelle fois les notations.

    • Soit i^\rightarrow un vecteur directeur non nul de la droite D.
    • Soit j^\rightarrow un vecteur directeur non nul de la droite D'.

    i^\rightarrow et j^\rightarrow ne sont pas colinéaires vu que D et D' sont non coplanaires. Donc (i^\rightarrow;j^\rightarrow) forme la base d'un plan parallèle aux droites D et D'. Un plan qui conviendrait aurait alors forcément (i^\rightarrow;j^\rightarrow) pour base.

    Le plan passant par A et de base (i^\rightarrow;j^\rightarrow) passe bien par A et est parallèle aux 2 droite. On a prouvé l'existence. De plus, c'est le seul plan qui réponde aux critères de l'énoncé (on a recherché les conditions nécessaires), on a donc montré l'unicité.

    En fait dans mon raisonnement je n'ai trouvé qu'un seul plan qui réponde aux critères, donc il existe et est unique.

    Une autre façon de montrer l'unicité est de supposer qu'il en existe 2, et puis de montrer qu'ils sont confondus, donc égaux.

    @+



  • D'accord, merci beaucoup de ton aide ! -:)


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