Démonstration en spé math sur les similitudes.

Bonjour .
Voila, je viens de commencer le chapitre sur les similitudes et me voila déjà avec des démonstrations de théorèmes à faire !! Dont celle-ci sur laquelle je bloque depuis plusieurs heures.
Pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

faire la démonstration du théorème suivant :

Théorème: Les isométies du plan sont les transformations d'écriture complexe : z -> [e^(i téta)]z + b ou z -> [e^(i téta)]zbar + b avec téta appartient à R et b appartient à C .

le prof nous a donné le début :

Démo: les transformations d'écritures complexe z -> [e^(i téta)]z + b et z -> [e^(i téta)]zbar + b sont des isométries ...

j'ai fait la réciproque : c'est à dire que je suis parti du fait que c'est une isométrie pour arriver à montrer qu'il s'écrivent soit sous la forme z -> [e^(i téta)]z + b , soit sous la forme z -> [e^(i téta)]zbar + b

Mais je n'arrive pas à le faire dans l'autre sens.
Aidez moi, s'il vous plait !

Merci d'avance.

Bonjour,

Il me semble que tu as déjà fait le plus difficile. Soient 2 points A et B d'affixes respectives zA et zB qui donnent par ces transformations zA' et zB'. Calcule le module |zB'-zA'| (c'est la distance A'B'). Tu vas sans difficulté retomber sur |zB-zA| dans les 2 cas et c'est gagné.

A bientôt

Merci thierry pour ton aide.

Ton idée était très bonne. Un seul problème persiste : en calculant |zB'-zA'|, je trouve pas |zB-zA|.

Peux tu (si tu as le temps ) me détailler le calcul ?

Merci d'avance.

Ah bon :!: la factorisation te fait peur :twisted: ? ou bien la formule |ab|=|a|.|b| ?
Si tu n'as toujours pas trouvé, regarde la résolution ci-dessous.

Je te laisse te dépatouiller avec les formules de module et conjugué

Tiens moi au courant !

merci thierry : entre temps, j'avais trouvé.

Mais pour l'autre je trouve |zB'-zA'| = |zbar B-zbar A|.

J'ai le droit de dire que comme |z bar|=|z| alors |zbar B-zbar A| = |zB-zA| ?

et donc que |zB'-zA'| = |zB-zA| ?

merci d'avance pour ta réponse.

oui tu peux ...

Ok merci beucoup

@+