Résoudre un problème en utilisant les suites

[asymptote]

Bonjour,
J'ai un petit problème avec un exercice sur les suites, voici l'énoncé :

Dans le plan muni d'un repère orthonormal ( O, i , j ), on donne les points A( 1; -1) et B( 5;3 ). On considère la suite de points $(G_n$) définie par le point $G_o$ en O et, pour n≥1, $G_n$ est le barycentre des points pondérés $(G_{n-1}$ ; 2) , (A; 1) et (B; 1). On note ( $X_n$ ; $Y_n$ ) les coordonnées de $G_n$.

1. Calculer les coordonnées de $G_1$, $G_2$ et $G_3$. Placer ces points et montrer qu'ils sont alignés.
2. Prouver que pour tout n de $mathbbN$ , $G_{n+1}$ est l'image de $G_n$ par une homothétie que l'on caractérisera par son centre et son rapport.
3. Justifier que, pour tout n de $mathbbN$ , $X_{n+1}$= $(1/2)X_n$ + 3/2.

Pour la première question, j'ai calculé les coordonnées de $G_1$ , $G_2$ et $G_3$ en utilisant les formules : $x_G$=( α$x_A$ + β$x_B$ ) / α + β et $y_G$= ( α$y_A$ + β$y_B$ ) / α +β .
J'ai alors trouvé que $G_1$(3/2 ; 1/2) , $G_2$(9/4 ; 3/4 ) et $G_3$(21/4 ; 7/4).
Mais je n'arrive pas à montrer qu'il sont alignés et je ne comprends pas comment faire pour les questions 2 et 3.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
merci

[Zorro]

Bonjour,

Pour montrer qu'ils sont alignés il suffit de montrer par exemple qu'il existe un réel k tel que

$G$_1$G$_2${}^{\to }$ = $kG$_1$G$_3${}^{\to }$

En regardant comment sont les points $G_0$ , $G_1$ , $G_2$ , $G_3$ ... tu n'as pas une petite idée sur le centre de l'homothétie ? Il ne reste plus qu'à démontrer que ton idée est la bonne

La 3 en découlera .