Etudier les variations et représenter graphiquement une fonction

[benja]

bonjour à tous, j'ai un Dm pour lundi j'ai commencé car il a l'air raide, merci de corriger le début.

On considère la suite $U_n$=0 et $U_{n+1}$ = $2U_{n $}$+3/U_n$+4
Soit l l'intervalle[0;1], on considere la fonction par f(x)=2x+3/x+4
a) etudier les variations de f et en déduire que pour toutx appartenant à l, f(x) appartient à l.

ma réponse :soit $x_1$ et $x_2$ des nombres réels verifiant 0≤$x_1$<x≤1,
f(x2) -f(x1) = $2x$2$+3/x_2$+4 - $2x_1$ $+3/x_1$ +4 = 5x² $-5x_1$ / $(x</em>2$+4) $(x_1$ +4)

or 5x² $-5x_1$ > 0 car $x_1$ > $x_2$
et $x_2$ +4 >0 et $x_1$ +4 > 0
car $x_1$ ≥0et $x_2$ >0
donc f ets strictement croissante sur [0;1]

b) representer graphiquement f(x).
Ca c'est bon

c) en utilisant le graphique placer les points A0,A1,A2 et A3 d'ordonnées nulles et d'abscisses U0,U1, U2 et U3.

Que suggere le graphique concernant le sens de variation de la suite Un et sa convergence ?

??????? pas compris, mais pas beaucoup de temps a chercher non plus. je vous ecris la suite de l'exo mais je n'y ai pas encore regardé vraiment je vous donnerai mes resultats au fur et à mesure que j'avance .

2)On considère la suite Vn définie par
$V_n$= $U_n$ - 1 / $U_n$ +3

a) demontre que $V_n$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b)en déduire la limite de la suite $V_n$
c) exprimer Un en fonction de $V_n$
d) en deduire la convergence de la suite $U_n$ et sa limite.

Merci pour votre aide, il me manque quelques souvenirs de 1ere.

[Zorro]

Bonjour,

Pour comprendre comment on utilise la représentation graphique d'une fonction pour trouver les termes d'une suite, regarde ce sujet

Il utilise une fonction f qui n'est pas forcément la même que la tienne mais cela donne la méthode.

[Zorro]

Pour étudier les variations de f, il est plus simple de passer par le signe de f '(x) que de reveinr à la définition et aux calculs vus en seconde !

De plus pour qu'on puisse t'aider, il faudrait mettre des () dans tes expressions parce qu'actuellement on ne sait pas vraiment ce qu'il faut que tu étudies.

[benja]

Zorro
Pour étudier les variations de f, il est plus simple de passer par le signe de f '(x) que de reveinr à la définition et aux calculs vus en seconde !

De plus pour qu'on puisse t'aider, il faudrait mettre des () dans tes expressions parce qu'actuellement on ne sait pas vraiment ce qu'il faut que tu étudies.

bonsoir, j'ai repris en calculant la dérivée de f(x).
f'(x)=[2(x+4)-2x-3][/(x+4)²]
f'(x)=5/(x+4)²
le discriminat est=0
$x_0$=-b/2a
$x_0$=4
A est un point d'intersection avec l'axe des abscisses avec A(4;0)

donc f(x) est strictement croissante sur [0;1].

toujours pas vraiment convaincu de mon résultat..je poursuis quand meme.

[Zorro]

On ne connait toujours pas l'expression correcte de f(x) !

f(x) = 2x + (3/x) + 4 ? si on suit les règles de priorité des opérations on en arrive à ceci ! Est-ce vraiment la bonne expression ?

[benja]

Zorro
On ne connait toujours pas l'expression correcte de f(x) !

f(x) = 2x + (3/x) + 4 ? si on suit les règles de priorité des opérations on en arrive à ceci ! Est-ce vraiment la bonne expression ?

excusez moi je ne suis pas au top pour les indices, latex et autres...et ce n'est pas ça du tout.
f(x)=(2x+3)/(x+4)
donc tous mes calculs doivent etre faux!

aprés pour le graphique je trouve une droite passant par (0;0.75) et (1;1) dans l'intervalle [0;1]

[benja]

aucun de mes résultats ne sont cohérents,
c) je pars de $A_0$=0

$A$_1$=f(u_0$)=3/4

en fait je retombe sur tous les points de ma droite f.

rien de bien bon je pense

[Zorro]

C'est un peu normal de retomber sur les points de la droite d'équation y = x ...........

C'est le principe de cette méthode !

Tu trouves donc

[benja]

super j'ai le meme graphique que vous.

Pouvez vous remonter un peu et verifier ma dérivée avec l'enoncé et les bonnes parenthèses.

[Zorro]

En effet f '(x) = 5 / $(x+4{)}^2$

mais pas besoin de se compliquer la vie avec Δ !!!

Quel est le signe de 5 ?
Quel est le signe de $(x+4{)}^2$ quand x ≠ -4

donc pour tout x de [0;1] quel est le signe de f '(x) ?

[benja]

2. $V_n$ = $(U_n$ - 1) $/(U_n$ + 3)

A) pour demontrer que $(V_n$) est géométrique et sa raison j'ai besoin de quelques rappel de 1ere. Je viens de lire les autres forum mais j'ai pas trouver d'explication tres concrete.

un peu d'aide me serait utile.

a) voilà ce que j'ai fait:
$V${n+1}$=(U${n+1}$-1)/(U_{n+1}$+3)

$=(2U$n$+3)/(U_n$+4) + 3
$=(U_n$-1 ) / $5U_n$ +15
=1/5 $V_n$
donc $V</em>n$ est une suite géométrique de raison 1/5 et de 1er terme $V_0$= -1/3

B) $lim(V$_n$)=V$_0$q^n$
$V$_n$=(-1/3)\ast (1/5{)}^n$
donc
lim=0

c) pour exprimer $U_n$ en fonction de $V_n$ je rebloque.
merci de votre aide.

[Zorro]

D'un côté tu sais que $V_n$ = $(U_n$ - 1) $/(U_n$ + 3)

De l'autre tu sai que $V_n$ = $V_0$ $q^n$

Que peux-tu en conclure ?

[benja]

j'en conclue que :

$(u$_n$-1)/(U_n$+3) = $V$_0$q^n$

soit.????????

et our la convergence de la suite $U_n$ ainsi que sa limite .à cette heure ci votre aide me serait precieuse..enorme......je commence à saturer!

[Zorro]

Remplace

$V_0$ par ???
q par ???

que cherches-tu ?

[benja]

$V_0$=-1/3

et
q=1/5
donc

(un-1)/(Un+3) = V0qn ⇒
(un-1)/(Un+3) = -1/3 * $1/5^n$

[Zorro]

Désolée, cela démarre trop vite dans le match France Argentine ...

Je te répondrai demain

[benja]

tout à fait d'accord j'ai la Tv a cote et on est mal barré............... à suivre bonne soiree.....allez les bleus.

[benja]

bon ben voilà la France a perdu son match d'ouverture contre l'Argentine.
Mais bon moi j'en suis toujours à mon DM et je coince...

[benja]

benja

$V_0$=-1/3

et
q=1/5
donc

(un-1)/(Un+3) = V0qn ⇒
(un-1)/(Un+3) = -1/3 * $1/5^n$

C'est sa ou pas et pour le reste sa marche comment??

Merci

[Jeet-chris]

Salut.

Si tes valeurs de $V_0$ et de q sont correctes, alors on a bien $(U$_n$-1)/(U_n$+3) = $-(1/3)\ast (1/5{)}^n$.

Par conséquent $U_n$=(?). A partir de là la limite et la convergence devraient être simples à trouver.

@+

[benja]

bonsoir,

alors on a :
(un-1)/(Un+3) = $V_n$

soit $V_n$ = $V$_0$q^n$

$V_n$=-(1/3)*(1/5)n.

et comment je trouve $U_n$?? je n'arrive pas à trouver le facteur commun, alors la limite et la convergence ?????

un peu d'aide serait la bienvenue.

[Jeet-chris]

Salut.

Grrr...

Résout $(U$_n$-1)/(U_n$+3) = $-(1/3)\ast (1/5{)}^n$ je t'ai dit.

Si tu es face à l'équation (x-1)/(x+3) = $-(1/3)\ast (1/5{)}^n$, tu en déduirais que x=(?).

C'est pareil pour $(U_n$).

@+

[benja]

Salut,

(x-1)/(x+3) = -(1/3)*(1/5)n,

donc $U_n$= $(3V_n$ + 1) / ( 1 $-V_n$)

Ok???
par contre cela ne m'aide pas pour la limite et la convergence de $U_n$

@+ merci pour votre patience.

[Jeet-chris]

Salut.

Je ne t'ai pas demandé de récrire $V_n$ après.

$(U$_n$-1)/(U_n$+3) = $-(1/3)\ast (1/5{)}^n$

Par de là, et ne remplace plus rien. Tu devrais obtenir l'expression de $(U_n$) en fonction de n
uniquement.

Puis faire tendre n vers l'infini c'est pas dur ensuite.

@+

[benja]

Jeet-chris
Salut.

Je ne t'ai pas demandé de récrire $V_n$ après.

$(U$_n$-1)/(U_n$+3) = $-(1/3)\ast (1/5{)}^n$

Par de là, et ne remplace plus rien. Tu devrais obtenir l'expression de $(U_n$) en fonction de n
uniquement.

Puis faire tendre n vers l'infini c'est pas dur ensuite.

@+

désolé mais j'ai de gros problèmes ......je ne sais pas faire une equation avec exposant!!

soit $x=U_n$

(x-1) / (x+3) = $-(1/3)\ast (1/5{)}^n$

(x-1)/(x+3) = $-1/15^n$

$(x-1)15^n$ = -x-3

alors x = $-(3/4{)}^n$

invraissemblable...

merci de me donner le theorème ou le point de depart car je coince.

[Jeet-chris]

Salut.

D'où sort le $15^n$ ? Parce que $3\ast 5^n$≠$15^n$.

Sinon le calcul était bien mené. Juste que cette faute t'a conduit à un résultat faux.

Equation avec exposant... que ce soit 5 ou $5^n$ ça revient au même à la base. On veut x = quelque chose. Si c'était x puissance quelque chose là j'aurais appelé ça une équation avec exposant.

@+

[benja]

Jeet-chris
Salut.

D'où sort le $15^n$ ? Parce que $3\ast 5^n$≠$15^n$.

Sinon le calcul était bien mené. Juste que cette faute t'a conduit à un résultat faux.

Equation avec exposant... que ce soit 5 ou $5^n$ ça revient au même à la base. On veut x = quelque chose. Si c'était x puissance quelque chose là j'aurais appelé ça une équation avec exposant.

@+

mon probleme est bien là je ne sais pas à quoi est égal $3\ast 5^n$.

[Jeet-chris]

Salut.

Laisse-le comme ça, il est très bien comme il est.

@+

[benja]

si je laisse $5^n$

alors je trouve x = 3 + $(3<em>5^n$) / $2</em>5^n$

à ce moment la limite de $U_n$ est +∞

[Jeet-chris]

Salut.

Faute de calcul.

Ecris ton calcul pour que je regarde où est-ce que tu bloques.

@+

[benja]

$(x-1)(3\ast 5^n$) =x+3

[ $3x<em>5^n$ - $(3</em>5^n$)] =x+3

$(2x{5}^n$ - $(3\ast 5^n$ ) -3 = 0

$2x{5}^n$ = 3 + $(3\ast 5^n$)

x = [3 + $(3<em>5^n$)] / $2</em>5^n$

cherchez l'horreur, SVP.

[Jeet-chris]

Salut.

Première ligne, tu as oublié le signe négatif devant le second membre.

@+

[benja]

benja

$(x-1)(3\ast 5^n$) =x+3

[ $3x<em>5^n$ - $(3</em>5^n$)] =x+3

$(2x{5}^n$ - $(3\ast 5^n$ ) -3 = 0

$2x{5}^n$ = 3 + $(3\ast 5^n$)

x = [3 + $(3<em>5^n$)] / $2</em>5^n$

cherchez l'horreur, SVP.

$(x-1)(-3\ast 5^n$) =x+3

[- $3x<em>5^n$ + $(3</em>5^n$)] =x+3

$(-4x{5}^n$ + $(3\ast 5^n$ ) -3 = 0

$-4x{5}^n$ = 3 - $(3\ast 5^n$)

x = ( 3 ( 1 - $5^n$)) / - 4 $\ast 5^n$

[Jeet-chris]

Salut.

Deuxième ligne à la troisième : $-3x<em>5^n$-x ≠ $-4x</em>5^n$.

C'est le x que l'on met en facteur.

@+

[benja]

Jeet-chris
Salut.

Deuxième ligne à la troisième : $-3x<em>5^n$-x ≠ $-4x</em>5^n$.

C'est le x que l'on met en facteur.

@+

Ok, merci, je vais finir par y arriver, peut-être...

(x-1)(-3*5n) =x+3

[- 3x5n + (35n)] =x+3

-x ( $3<em>5^n$ +1) $+3</em>5^n$ -3 =0

-x = [3 $(1-5^n$)] / $1+3\ast 5^n$

x = - [3 $(1-5^n$)] / $1+3\ast 5^n$

@+ merci d'avance

Edit de J-C : il y avait un sub au lieu d'un sup qui modifiait l'affichage.

[Jeet-chris]

Salut.

Met bien toutes les parenthèse pour que le dénominateur ne soit pas ambigu.

Bref on trouve bien que $u_n=\frac{-3+3\times 5^n}{1+3\times 5^n}$

@+

[benja]

ouf...merci pour votre patience.

j'en deduis que $U_n$ converge vers l'infinie et que sa limite est +∞ pour tout n>0.

[Jeet-chris]

Salut.

Et bien pas moi, vu que c'est un cas indéterminé (+∞/+∞). Met $5\ast 3^n$ en facteur en haut et en bas, puis calcule les limites du numérateur et du dénominateur séparément. Tu comprendras que la limite réelle est loin d'être la tienne.

@+

[benja]

elle converge vers 1 et donc que la limite de Un est 1????

[Jeet-chris]

Salut.

Oui c'est bien ça !

@+