Etudier la continuité et les variations d'une fonction rationnelle

Bonjour, voilà j'ai un exercice de math et je ne comprend pas tout, merci de m'aider.

alors voici l'énoncé:

Soit la fonction f définie pour tout réel x différent de 1 par : f(x) = x ³ /(x-1)².

etudier les variations de f.
déterminer des réels a,b et c tels que :
f(x) = ax + b + (cx + d )/(x-1)²
en déduire la position de la courbe C par rapport à la droite D y=x+2

3)Déterminer l'abscisse du point J de la courbe C en lequel la tangente est parallèle à la droite D, puis une équation de cette tangente T.

tracer la courbe C et les droites D et T

a) a l'aide du graphique étudier suivant les valeurs du paramètre p, le nombre de solutions de l'équation :
f(x)=x+p
b) Préciser l'ensemble D des valeurs de p pour lesquelles cette équation admet 2 solutions distinctes.

6)Lorsque la droite d'équation y=x+p coupe la courbe C en deux points M et N on note P le milieu de [MN]. on s'interresse au lieu géométrique du point P.

a) Démontrer que les abscisses des points d'intersection M et n sont les solutions de l'équation : (E) (p-2)x² + (1-2p)x + p = 0
b) en déduire que l'abscisse du point P est :
xp = 1 + (3)/(2p-4)
et démontrer que P appartient à la courbe C d'équation
y = x + 2+ (3) /2(x-1)
c) quel est l'ensemble décrit par xp lorsque p décrit D?
d) Etudier les variations de la fonction g
g(x) = x+2+(3)/2(x-1) et tracer C'
Préciser la partie de la courbe C' décrite par le point P lorsque la droite $ prend toutes les positions possibles.

voici mes réponses:

1- J'ai cherché la dérivée en faisant u/v=u'v-uv' /v², je trouve f'(x) = $x^4$ - ax ³ + 3x²) / $x-1)^4$ soit f'(x) = 1
déjà là j'ai un probléme cela me semble pas normal.

2- je vois que D est de la forme ax +b est doit etre asymptote à la coube C, mais je ne sais pas le démontrer cela est soit disant niveau 1ère mais nous n'avons pas du tout vu cela l'an dernier!

3- et a partir de la je bloque...

Voilà c'est un peu long, j'espère que vous aurez réussi à me lire et à comprendre. moi j'attaque mal car je n'ai vraiment rien compris, il doit me manquer des cours de 1ère...merci pour votre aide.

A bientôt

Bonjour,

Pour la dérivée de f avec f(x) = $x$ ^3 $x-1)^2$ il faut bien utiliser

f(x) = u(x)/v(x)

avec u(x) = $x^3$ donc u'(x) = ....

et u(v) = $x-1)^2$ donc v'(x) = ....

Et je te confirme que ['u(x)v(x) - v'(x)u(x)] $v(x)]^2$ ≠ 1

Pour démontrer que f(x) = ax + b + (cx + d )/(x-1)² , il faut partir de

ax + b + (cx + d )/(x-1)²

mettre les fraction au même dénominateur ,
développer et réduire le numérateur

Puis utiliser le théorème de 1ère qui dit que 2 polynômes sotn égaux si leur terme de même degré sont égaux ....

Donc tu vas avoir un système de 3 équations à 3 inconnues (a , b et c) à résoudre.

u'(x)= 3x²
v'(x)= 2(...)[x-1]

je bloque...

Si v = $w^n$ , alors v' = ????

alors v' $nW^{n-1}$

NON

C'est absolument obligatoire de savoir ça par coeur en Ter S

v(x)=(x-1)²
v'(x)=nu' $x)(u(x))^{n-1}$
=4x(x-1)=4x²-4
c'est sa?
car je n'est pas compris

ah non c'est bon désolé:
u=x^3
u'=3x²
v=(x-1)²
v'=2(x-1)

donc u'v/v² = 3x^2/(x-1)^3
et uv' /v² = x^3//(x-1)^3

et on obtient, en regroupant un peu :
x²(x-3)/(x-1)^3

C'est enfin correct. Il ne te reste plus qu'à étudier le signe de f'(x) avec un magnifique tableau de signes.

Salut benja,

v'(x)=nu'(x)(u(x))n-1
cette formule est presque juste, à ceci près que u n'a rien à faire là-dedans :

v'(x)=nv'(x)(v(x))n-1
conviendrait mieux.
Et es-tu sûre que la dérivée de x->x-1 est x? et pourquoi quand tu appliques cette formules tu nous sors un n=4?

non je m'était tromper c'est bon pour les variation de f'(x):
elle est définie (partout sauf en 1), et où elle s'annule (0 et 3),

je ne vois pas comment faire le tableau

pour la 2-:
j'ai un ami qui a fait sa:
x^3=x(x-1)²+2x²-x
et 2x² = 2(x-1)² +4x -2
donc x^3 = (x+2)(x-1)²+3x-2

donc f(x) = x + 2 + (3x-2)/(x-1)²

f(x) - (x+2), si c'est négatif, D est au dessus, sinon c'est le contraire.

f(x) - (x+2)=(3x-2)/(x-1)²
x<2/3 D au dessus
x>2/3 C au dessus

mais je ne comprend pas a quoi sa sert?

On est d'accord f'(x) = $x^2$ (x - 3)/(x - $1)^3$

Donc pour étudier le signe de f'(x) il faut

une ligne pour le signe de $x^2$

une ligne pour le signe de (x -3)

une ligne pour le signe de (x - 1) donc c'est la même pour le signe de (x - $1)^3$

une ligne pour le signe de f'(x)

ok mais pour remplir le tableau il faut chercher les limites?? de f'(x)??
c'est sa..??

Les limites de f '(x) ne servent pas à grand chose ????

Par contre les limites de f(x) aux bornes du domaine de définition c'est plus utile.

Au fait c'est quoi le domaine de définition de f ? (je n'avais pas encore posé la question car pour moi cela semblait évident pour un(e) élève de Ter S)

Pour construire le tableau de variation on étudie le signe de f'(x) cela permet de mettre les flèches comme il faut.

Pour compléter ce tableau on ajoute les limites et autres valeurs au bout des flèches.

les bornes de définition de f(x) est R{-1}

et lim(en +∞ ) de x³=+∞
de plus lim(en +∞ ) de (x-1)³=+∞

et ensuite je cherche la limite en -1...

benja
les bornes de définition de f(x) est R{-1}

et lim(en +∞ ) de x³=+∞
de plus lim(en +∞ ) de (x-1)³=+∞

et ensuite je cherche la limite en -1...

oui il faut chercher les limites quand x se rapproche de **+**1 quand x > 1 puis quand x < 1

Parce que x - 1 = 0 si et seulement x = **+**1 et non -1

et il ne faut pas chercher les racines avec le discriminant ou un truc comme sa???

la lim de f(x) quand x tend ver 1ou x<1 = 0
et lim de f(x) quand x tend ver 1ou x>1 = 0

mais je ne comprend comment après il faut mettre les flèche ou les signes + ou -...

merci

Tu ne sais vraiment pas faire sans calculer un quelconque discriminant pour quelconque polynôme du second degré

une ligne pour le signe de $x^2$ .... pas besoin de Δ

une ligne pour le signe de (x -3) ...... pas besoin de Δ

une ligne pour le signe de (x - 1) donc c'est la même pour le signe de (x - 1)3 .... pas besoin de Δ

C'est (x - 1) qui tend vers 0 quand x tend vers 1 .... pas f(x)

Si x > 1 alors quel est le signe de x - 1 ??? donc quelle est la limite de (x - 1) quand x tend vers 1 avec x > 1 ?

Si x < 1 alors quel est le signe de x - 1 ??? donc quelle est la limite de (x - 1) quand x tend vers 1 avec x < 1 ?

je veut bien ne pas me serir de Δ mais comment faire alors?

Quel est le signe de $x^2$ ??? facile non ?

Quand est-ce que x - 3 ≥ 0 ??? facile non ?

Quand est-ce que x - 1 ≥ 0 ??? facile non ?
Donc quand est-ce que (x - $1)^3$ ≥ 0 ??? facile non ?

x² est positif

x - 3 ≥ 0 quand x>3

x - 1 ≥ 0 quand x>1

(x - 1)3 ≥ 0 quand x>1

non???

Oufff .... oui enfin ... donc quels sont les variations de f ?

bon c'est déja un bon début mais pour les variations:
je ne voit pas
et comment compléter le tableau avec ceci:
x² est positif

x - 3 ≥ 0 quand x>3

x - 1 ≥ 0 quand x>1

(x - 1)3 ≥ 0 quand x>1

merci

Bon je vais me déconnecter.

Il faut que tu retrouves tes cours de seconde pour retrouver comment on fait un tableau de signes.

Voici un exemple qui n'a rien à voir avec tu sujet mais qui devrait te rafraîchir la mémoire !

$\begin{tabular} {|c|ccccccccccccc|}\hline x&-\infty&&&-\frac{3}{4}&&&&1&&&&&+\infty\ \hline (-4x-3)&&+&&(0)&&-&&(-7)&&&-\ (x-1)&&-&&(-\frac{7}{4})&&-&&(0)&&&+\ \hline f(x)=\frac{-4x-3}{x-1} &&-&&(0)&&+&&||&&&-\ \hline \end{tabular}$

daccor bon pour la 1 c'est bon mais pour la 2...
je re bloque......

je vois que D est de la forme ax +b est doit etre asymptote à la coube C, mais je ne sais pas le démontrer cela est soit disant niveau 1ère mais nous n'avons pas du tout vu cela l'an dernier! ( enfin je croi pas )!!!

Mais bon:
x^3=x(x-1)²+2x²-x
et 2x² = 2(x-1)² +4x -2
donc x^3 = (x+2)(x-1)²+3x-2

donc f(x) = x + 2 + (3x-2)/(x-1)²
et ensuite je calcule f(x) - (x+2), si c'est négatif, D est au dessus, sinon c'est le contraire.

Alors:
f(x) - (x+2)=(3x-2)/(x-1)²
x<2/3 D au dessus
x>2/3 C au dessus

j'espère que cette question sera plus vite faite ue la première ...^^

bonjours a tous j'espère que le 2 c'set sa???

Bonjour,

Oui la 2) est juste.

alors voici la question 3):
Déterminer l'abscisse du point J de la courbe C en lequel la tangente est parallèle à la droite D, puis une équation de cette tangente T.
je ne voit pas ce qu'il faut faire,

)-> il faut il trouver le point d'absisse a tel que f(a) = 1???

c'est sa ??

Alors à quelles conditions deux droites dans le plan sont parallèles ?

si T est de la forme y= x + b

Ma question était plus générale mais bon si tu veux.
donc il te faut une tangente de la forme y = x + b qui sera donc parallèle à
D :y =x +2

Il s'agit donc de trouver un point J d'abscisse tel que le coefficient directeur de la tangente à ce point soit de 1.

et comment fait on ????

Ah c'est pas parce qu'on est en terminale qu'il faut oublier la première , quelle définition connais-tu du nombre dérivé ?

je ne me rappel plus

pouvez vous m'aider svp merci